Finite element methods have been developed over decades, and together with the growth of computer power, they become more and more important in dealing with large-scale simulations in science and industry.The objective of this thesis is to develop high-performance finite element methods, with two concrete applications: computational fluid dynamics (CFD) with simulation of turbulent flow past a vertical axis wind turbine (VAWT), and computational diffusion magnetic resonance imaging (CDMRI). The thesis presents contributions in the form of both new numerical methods for high-performance computing frameworks and efficient, tested software, published open source as part of the FEniCS/FEniCS-HPC platform. More specifically, we have four main contributions through the thesis work.

First, we develop a DFS-ALE method which combines the Direct finite element simulation method (DFS) with the Arbitrary Lagrangian-Eulerian method (ALE) to solve the Navier-Stokes equations for a rotating turbine. This method is enhanced with dual-based a posteriori error control and automated mesh adaptation. Turbulent boundary layers are modeled by a slip boundary condition to avoid a full resolution which is impossible even with the most powerful computers available today. The method is validated against experimental data with a good agreement.

Second, we propose a partition of unity finite element method to tackle interface problems. In CFD, it allows for imposing slip velocity boundary conditions on conforming internal interfaces for a fluid-structure interaction model. In CDMRI, it helps to overcome the difficulties that the standard approaches have when imposing the microscopic heterogeneity of the biological tissues and allows for efficient solutions of the Bloch-Torrey equation in heterogeneous domains. The method facilitates a straightforward implementation on the FEniCS/ FEniCS-HPC platform. The method is validated against reference solutions, and the implementation shows a strong parallel scalability.

Third, we propose a finite element discretization on manifolds in order to efficiently simulate the diffusion MRI signal in domains that have a thin layer or a thin tube geometrical structure. The method helps to significantly reduce the required simulation time, computer memory, and difficulties associated with mesh generation, while maintaining the accuracy. Thus, it opens the possibility to simulate complicated structures at a low cost, for a better understanding of diffusion MRI in the brain.

Finally, we propose an efficient portable simulation framework that integrates recent advanced techniques in both mathematics and computer science to enable the users to perform simulations with the Cloud computing technology. The simulation framework consists of Python, IPython and C++ solvers working either on a web browser with Google Colaboratory notebooks or on the Google Cloud Platform with MPI parallelization.

Finita elementmetoder har utvecklats under årtionden, och har, till- sammans med tillväxten i datorkraft, blivit allt viktigare för att utföra storskaliga simuleringar inom både akademin och industrin. Målet med denna avhandling är att utveckla finita elementmetoder med högprestanda, med särskilt fokus på två konkreta applikationer; beräknings- strömningsdynamik (eng. Computational Fluid Dynamics (CFD)) för simulering av turbulent flöde runt en vindturbin, och beräkningar inom diffusionsmagnetresonanstomografi (eng. Computational diffusion magnetic resonance imaging (CDMRI)). Denna avhandling innehåller bidrag till ovanstående områden i form av såväl nya numeriska metoder för högprestandaberäkningsramverk och testad effektiv programvara vilken publicerats som öppen källkod som del av plattformen FEniCS/FEniCS-HPC. Mer specifikt presenterar vi fyra huvudbidrag i detta avhandlingsarbete.

Först utvecklar vi en DFS-ALE-metod som kombinerar Direkt Fini- ta Elementsimulering (DFS) med den Arbiträra Lagrange-Eulermetoden (ALE) för att lösa Navier-Stokes ekvationer för en roterande turbin. Vår metod är en förbättrad variant med dualbaserad a posteriori felkontroll och automatiserad adaptering av beräkningsnätet. Turbulenta gränsskikt modelleras med ett sliprandvillkor för att undvika full upplösning av problemet, vilket är omöjligt även med de mest kraftfulla datorer som finns att tillgå idag. Metoden valideras mot experimentell data, med god överensstämmelse.

Därnäst föreslår vi en enhetspartitions finita element metod för att tackla interfaceproblem. Inom CFD möjliggör detta att påtvinga ett sliprandvillkor på konforma inre interface för en fluidstrukturinter-kationsmodell. Inom CDMRI bidrar det med att överkomma svårigheterna med att påtvinga mikroskopisk heterogenitet av den biologiska vävnaden, och möjliggör effektiv lösning av Bloch-Torrey ekvationen i heterogena domäner. Metoden gör det enklare att göra en rättfram implementering i FEniCS/FEniCS-HPC. Metoden valideras mot referenslösnignar, och implementationen visar på stark parallel skalning (eng. strong parallel scaling).

Sedan föreslår vi en finita elementdisktretisering på mångfalder för att effektivt kunna simulera diffusions-MRI-signaler i områden med en tunn geometrisk struktur. Metoden bidrar med att signifikant reducera simuleringstiden, minnesåtgång och svårigheter associerade med genereringen av beräkningsnät, utan att påverka precisionen i beräkningarna. Detta öppnar för möjligheter att simulera komplicerade strukturer till låg kostnad, för att bättre förstå diffusionsmagnettomografi i hjärnan.

Tilll sist föreslår vi ett effektivt portabelt simuleringsramverk som integrear nya avancerade tekniker inom både matematik och datave- tenskap för att möjliggöra för användaren att utföra simuleringar med datormolnberäkningsteknologin. Simuleringsramverket består av Python, IPython och C++-lösare som används tillsammans antingen i en webbläsare med Google Colaboration notebooks eller på Google Cloud-plattformen med MPI-parallellisering.

  Partial Differential Equations describe a large number of phenomena of practical interest and their solution usually requires running huge simulations on supercomputing clusters.  Especially when dealing with turbulent flows, the cost of such simulations, if approached naively, makes them unfeasible, requiring modelling intervention.  This work is concerned with two main aspects in the field of Computational Sciences.  On the one hand we explore new directions in turbulence modelling and simulation of turbulent flows; we use an adaptive Finite Element Method and an \emph{infinite Reynolds number} model to reduce the computational cost of otherwise intractable simulations, showing that we are able to perform time-dependent computations of turbulent flows at very high Reynolds numbers, considered the main challenge in modern aerodynamics.  The other focus of this work is on biomedical applications.  We develop a computational model for (Cardiac) Radiofrequency Ablation, a popular clinical procedure administered to treat a variety of conditions, including arrhythmia.  Our model improves on the state of the art in several ways, most notably addressing the critical issue of accurately approximating the geometry of the configuration, which proves indispensable to correctly reproduce the physics of the phenomenon.

    Partiella differentialekvationer kan användas för att beskriva ett stort antal fenomen av praktiskt intresse.    Vanligtvis krävs enorma simuleringar på superdatorkluster för att hitta deras lösningar.    I synnerhet vid arbete med turbulent flöde.    Dessa simuleringar är så resurskrävande att utan specialbehandling så är de ohanterbara och kräver manuella modelleringsingrepp.    Denna avhandling består av två huvuddelar.    Först utforskar vi nya riktningar i turbulensmodellering och simulering av turbulent flöde.    Vi använder oss av en adaptiv finit elementmetod och en modell med  oändliga \emph{Reynoldstal} för att reducera beräkningskostnaden för annars ohanterbara simuleringar.    Avhandlingen visar att vi lyckats utföra tidsberoende beräkningar av turbulent flöde vid väldigt höga Reynoldstal, vilket är en av de stora utmaningarna i modern aerodynamik.    Den andra delen i denna avhandlingen fokuserar på biomedicinska tillämpningar.    Vi har utvecklat en modell för radiofrekvensablation, ett populärt medicinskt ingrepp som är del i behandlingen av ett flertal sjukdomar, inklusive arytmi.    Vår modell överträffar befintliga modeller på flera punkter.    Mest markant genom att noggrant approximera  konfigurationens geometri, vilket är väsentligt för att korrekt kunna reproducera fenomenets fysik.

    Las ecuaciones en derivadas parciales describen muchos fenómenos de interés práctico y sus soluciones suelen necesitar correr simulaciones muy costosas en clústers de cálculo.    En el ámbito de los flujos turbulentos, en particular, el coste de las simulaciones es demasiado grande si se utilizan métodos básicos, por eso es necesario modelizar el sistema.    Esta tesis doctoral trata principalmente de dos temas en Cálculo Científico.    Por un lado, estudiamos nuevos desarrollos en la modelización y simulación de flujos turbulentos; utilizamos un Método de Elementos Finitos adaptativo y un modelo de \emph{número de Reynolds infinito} para reducir el coste computacional de simulaciones que, sin estas modificaciones, serían demasiado costosas.    De esta manera conseguimos lograr simulaciones evolutivas de flujos turbulentos con número de Reynolds muy grande, lo cual se considera uno de los mayores retos en aerodinámica.    El otro pilar de esta tesis es una aplicación biomédica.    Desarrollamos un modelo computacional de Ablación (Cardiaca) por Radiofrecuencia, una terapia común para tratar varias enfermedades, por ejemplo algunas arritmias.    Nuestro modelo mejora los modelos existentes en varias maneras, y en particular en tratar de obtener una aproximación fiel de la geometría del sistema, lo cual se descubre ser crítico para simular correctamente la física del fenómeno.