Artificial neural networks at the present time gain notable popularity and show astounding results in many machine learning tasks. This, however, also results in a drawback that the understanding of the processes happening inside of learning algorithms decreases. In many cases, the process of choosing a neural network architecture for a problem comes down to selection of network layers by intuition and to manual tuning of network parameters. Therefore, it is important to build a strong theoretical base in this area, both to try to reduce the amount of manual work in the future and to get a better understanding of capabilities of neural networks. In this master thesis, the ideas of applying different topological and geometric methods for the analysis of neural networks were investigated. Despite the difficulties which arise from the novelty of the approach, such as limited amount of related studies, some promising methods of network analysis were established and tested on baseline machine learning datasets. One of the most notable results of the study reveals how neural networks preserve topological features of the data when it is projected into space with low dimensionality. For example, the persistence for MNIST dataset with added rotations of images gets preserved after the projection into 3D space with the use of simple autoencoders; on the other hand, autoencoders with a relatively high weight regularization parameter might be losing this ability.

Artificiella neuronnät har för närvarande uppnått märkbar popularitet och visar häpnadsväckande resultat i många maskininlärningsuppgifter. Dock leder detta också till nackdelen att förståelsen av de processer som sker inom inlärningsalgoritmerna minskar. I många fall måste man använda intuition och ställa in parametrar manuellt under processen att välja en nätverksarkitektur. Därför är det viktigt att bygga en stark teoretisk bas inom detta område, både för att försöka minska manuellt arbete i framtiden och för att få en bättre förståelse för kapaciteten hos neuronnät. I detta examensarbete undersöktes idéerna om att tillämpa olika topologiska och geometriska metoder för analys av neuronnät. Många av svårigheterna härrör från det nya tillvägagångssättet, såsom en begränsad mängd av relaterade studier, men några lovande nätverksanalysmetoder upprättades och testades på standarddatauppsättningar för maskininlärning. Ett av de mest anmärkningsvärda resultaten av examensarbetet visar hur neurala nätverk bevarar de topologiska egenskaperna hos data när den projiceras till vektorrum med låg dimensionalitet. Till exempel bevaras den topologiska persistensen för MNIST-datasetet med tillagda rotationer av bilder efter projektion i ett tredimensionellt vektorrum med användning av en basal autoencoder; å andra sidan kan autoencoders med en relativt hög viktregleringsparameter förlora denna egenskap.