This thesis consists of 4 papers. In Paper A we define stacky building data for stacky covers in the spirit of Pardini and give an equivalence of (2,1)- categories between the category of stacky covers and the category of stacky building data. We show that every stacky cover is a flat root stack in the sense of Olsson and Borne–Vistoli and give an intrinsic description of it as a root stack using stacky building data. When the base scheme S is defined over a field, we give a criterion for when a stacky building datum comes from a ramified cover for a finite abelian group scheme over k, generalizing a result of Biswas–Borne.

In Paper B we compute the étale cohomology ring H*(X,Z/nZ) for X the spectrum of the ring of integers of a number field K. As an application, we give a non-vanishing formula for an invariant defined by Minhyong Kim. We also give examples of two distinct number fields whose rings of integers have isomorphic cohomology groups but distinct cohomology ring structures.

In Paper C we generalize the results of Paper B to include the case when X is replaced by an open subset U ⊆ X, where we have removed a finite number of closed points from X. We show that when U is the complement of two odd primes p and q which are congruent to 1 (mod 4), the Legendre symbol of p over q may be interpreted as a cup product in H*(U,Z/2Z).

In Paper D we find formulas for Massey products in étale cohomology of the ring of integers of a number field. Then we use these formulas to, with the help of a computer, find the first ever known examples of imaginary quadratic fields with p-class group of rank 2 for odd p and infinite class field tower. We also compute examples disproving McLeman’s (3, 3)-conjecture.

Denna avhandling består av 4 artiklar. I Artikel A definierar vi stackig byggnadsdata för stackiga övertäckningar i Pardinis anda och visar en ekvivalens av (2,1)-kategorier mellan kategorin av stackiga övertäckningar och kategorin av stackig byggnadsdata. Vi visar att varje stackig övertäckning är en platt rotstack i Olsson och Borne–Vistolis mening och vi ger en intrinsisk beskrivning av den som en rotstack med hjälp av stackig byggnadsdata. När basen S är definierad över en kropp ger vi ett kriterium för när ett stackigt byggnadsdatum kommer från en ramifierad övertäckning för ett ändligt abelskt gruppschema över k. Detta generaliserar ett resultat av Biswas–Borne.

I Artikel B beräknar vi den étala kohomologiringen H*(X, Z/nZ) då X är spektrumet av ringen av heltal av en talkropp K. Som en tillämpning, ger vi ett kriterium i form av en formel för när en invariant definierad av Minhyong Kim är noll eller ej. Vi ger också exempel på två olika talkroppar vars ringar av heltal har isomorfa kohomologigrupper men olika kohomologiringstrukturer.

I Artikel C generaliserar vi resultaten i Artikel B till att innefatta fallet då X ersätts av en öppen delmängd U ⊆ X, där vi tagit bort ett ändligt antal slutna punkter ifrån X. Vi visar att då U är komplementet till två udda primtal p och q, som är kongruenta till 1 (mod 4), så kan Legendre symbolen av p över q betraktas som en kopprodukt i H*(U,Z/2Z).

I Artikel D beräknar vi formler för Masseyprodukter i étale kohomologi av ringen av heltal till en talkropp. Vi använder sedan dessa formler för att, med hjälp av en dator, hitta de första kända exemplen på kvadratiskt imaginära talkroppar vars klassgrupp har p-rang 2, för udda p, och oändligt p-klasskroppstorn. Vi beräknar också exempel som motbevisar McLemans (3, 3)-förmodan.