Change search
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
Mathematical Dimensions: The theory of dimensions in linear algebra, differential topology, and geometric measure theory
KTH, School of Engineering Sciences (SCI).
2018 (English)Independent thesis Basic level (degree of Bachelor), 10 credits / 15 HE creditsStudent thesisAlternative title
Matematiska dimensioner : Dimensionsteori i linjär algebra, differentialtopologi och geometrisk måtteori (Swedish)
Abstract [en]

We give a brief overview of the foundations of dimension theory in contexts of linear algebra, differential topology, and geometric measure theory. These three areas successively raise the level of abstraction,by making less assumptions on the underlying structures of the studied objects. We look at the task of defining dimension in each area so as to guarantee unicity and invariance under particular maps. In linear algebra we see how the abundance of structure in abstract vector spaces makes it possible to define a basis and assign the number of basis vectors as the vector space’s dimension. This yields a unique dimension that also is invariant under invertible linear maps.

In differential topology we study properties of subsets in Rn under mappings called diffeomorphisms, which are smooth maps with smooth inverses. With diffeomorphisms it is possible to assign a unique dimension to differentiable manifolds where the dimension of a manifold is uniquely given by the codomain of diffeomorphisms locally defined on it. The dimension of a differentiable manifold is preserved under diffeomorphisms as well.

In geometric measure theory we assume no structure at all for subsets of Rn and construct the Hausdorff measure, from which the unique Hausdorff dimension can be defined. The Hausdorff measure approximates geometric properties, such as area, by efficiently covering subsets with infinitesimal balls. The property then exhibited by the measure is that, for a given subset, approximations of higher-dimensional properties yield zero and of lower-dimensional properties yield . The measure essentially tells us when something is too large or too small to be contained in a subset and the point at which the Hausdorff measure shifts from 0 to is assigned as the subset’s Hausdorff dimension.

Abstract [sv]

Vi  presenterar  en  exposition  av  grunderna  i  dimensionsteori  i  linjär  algebra,  differentialtopologi  och  geometrisk  måtteori. Dessa  tre  områden höjer successivt abstraktionsnivån genom att göra mindre antaganden om de  underliggande  strukturerna  hos  de  studerade  objekten.  Vi  tittar  på uppgiften att definiera dimension i varje område på sådant sätt att den är unik och invariant under särskilda avbildningar.  I linjär algebra ser vi hur den stora tillgängligheten på struktur hos abstrakta vektorrum möjliggor det att definiera en bas och tilldela antalet basvektorer som vektorrummets dimension.   Detta  ger  en  unik  dimension  som  också  är  invariant  under inverterbara linjara avbildningar.

I  differentialtopologi  studerar  vi  egenskaper  hos  delmängder  av  Runder avbildningar kallade diffeomorfier som är släta avbildningar med släta inverser.  Med diffeomorfier är det möjligt att tilldela en unik dimension till differentierbara mångfalder där dimensionen av en mångfald bestäms unikt av målmangden hos diffeomorfier lokalt definierade på den.  Dimensionen av en differentierbar mångfald är också bevarad under diffeomorfier.

I  geometrisk  måtteori  gör  vi  inga  som  helst  antaganden  om  struk- tur hos delmängder av Roch konstruerar Hausdorffmåttet, från vilket den unika Hausdorffdimensionen kan definieras.  Hausdorffmåttet approximerar geometriska egenskaper, såsom area, genom att effektivt övertäcka delmängder med oändligt små bollar.  Den egenskap som måttet uppvisar är att, för en given delmängd, ger högre-dimensionella egenskaper måttet noll och lägre-dimensionella egenskaper måttet .  Måttet talar väsentligen om när något är för stort eller för litet för att kunna inrymmas i en delmängd och den punkt kring vilken Hausdorffmåttet skiftar från 0 till ∞ tilldelas som delmängdens Hausdorffdimension.

Place, publisher, year, edition, pages
2018. , p. 42
Series
TRITA-SCI-GRU ; 2018-105
National Category
Engineering and Technology
Identifiers
URN: urn:nbn:se:kth:diva-231679OAI: oai:DiVA.org:kth-231679DiVA, id: diva2:1229715
Supervisors
Examiners
Available from: 2018-07-02 Created: 2018-07-02 Last updated: 2018-07-02Bibliographically approved

Open Access in DiVA

No full text in DiVA

By organisation
School of Engineering Sciences (SCI)
Engineering and Technology

Search outside of DiVA

GoogleGoogle Scholar

urn-nbn

Altmetric score

urn-nbn
Total: 14 hits
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf