Change search
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
Numerical Analysis and Quantum Simulation of Hofstadter's Butterfly
KTH, School of Engineering Sciences (SCI).
KTH, School of Engineering Sciences (SCI).
2018 (English)Independent thesis Basic level (degree of Bachelor), 10 credits / 15 HE creditsStudent thesisAlternative title
Numerisk Analys och Kvantsimulering av Hofstadters fjäril (Swedish)
Abstract [en]

An electron subject of a periodic potential gives rise to discrete energy bands. An electron moving in a uniform magnetic field quantizes the allowed energies into Landau levels. In this report these two effects are combined in the problem of an electron moving in a periodic potential in the form of a quadratic 2D lattice with a perpendicular magnetic field. The resulting allowed eigenenergies are shown to form a beautiful energy spectrum as a function of the magnetic field, known as Hofstadter’s butterfly. In this report, the quantum mechanical background to this phenomena is presented and the relevant equations are derived. The Schrödinger equation is transformed into a finite difference equation which is then used to calculate the resulting energy spectrum using three different but similar methods. The resulting energy spectra are presented, discussed and a comparison between the different methods is provided.

In the latter part of the report, quantum simulators are discussed. A method that recently has been realized to calculate the allowed energies of the electron in a semi- infinite lattice using a quantum simulation is presented. The results are compared with a numerical calculation and the resemblance is almost perfect. The Hofstadter butterfly is a quantum mechanical effect which has not only been explained by theoretical models but also successfully simulated using a quantum computer indicating the true useful- ness of quantum simulation. This means that quantum mechanical systems that can not be solved by theoretical methods can instead be simulated with meaningful results, deepening our understanding of such phenomena.

Abstract [sv]

För en elektron som befinner sig i en periodisk potential delas de tillåtna energierna upp i diskreta energiband. Energin för en elektron som rör sig i ett homogent magnetfält är uppdelade i diskreta energinivåer, så kallade Landaunivåer. I denna rapport kombineras dessa effekter genom att studera en elektron som rör sig i en periodisk potential i form av ett kvadratiskt 2D gitter och ett pålagt vinkelrätt homogent magnetfält. De resulterande tillåtna egenenergierna visar sig bilda ett vackert energispektrum som funktion av det magnetiska fältets storlek. Detta energispektrum kallas för Hofstadters fjäril. I rapporten kommer den kvantmekaniska bakgrunden till detta fenomen att presenteras och de relevanta ekvationerna kommer härledas. Shrödingerekvationen transformeras till en differensekvation som sedan används för att beräkna det resulterande energispektrumet.

Beräkningarna görs med tre olika men likartade metoder. De resulterande energispektrumen presenteras, diskuteras och en jämförelse mellan de olika metoderna tillhandahålls.

I den senare delen av rapporten diskuteras kvantsimulatorer. En metod som nyligen

har förverkligats för att beräkna de tillåtna energierna för en elektron i ett halvoändligt

gitter med hjälp av en kvantsimulator presenteras. Resultatet stämmer mycket bra

överens med de numeriska beräkningarna som gjorts. Hofstadters fjäril är en kvantmekanisk effekt som inte bara förklarats med teoretiska modeller men även simulerats framgångsrikt med en kvantdator vilket indikerar att kvantsimulering kan vara ytterst användbart. Detta innebär att kvantmekaniska system som saknar effektiva teoretiska lösningsmetoder istället kan lösas genom kvantsimulering och ge oss kunskap om tidigare oförstådda fenomen.

Place, publisher, year, edition, pages
2018. , p. 30
Series
TRITA-SCI-GRU ; 2018-141
National Category
Engineering and Technology
Identifiers
URN: urn:nbn:se:kth:diva-231756OAI: oai:DiVA.org:kth-231756DiVA, id: diva2:1229872
Supervisors
Examiners
Available from: 2018-07-02 Created: 2018-07-02 Last updated: 2018-07-02Bibliographically approved

Open Access in DiVA

No full text in DiVA

By organisation
School of Engineering Sciences (SCI)
Engineering and Technology

Search outside of DiVA

GoogleGoogle Scholar

urn-nbn

Altmetric score

urn-nbn
Total: 6 hits
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf