This thesis investigates a multiscale version of the Landau-Lifshitz equation and how to solve it using the framework of Heterogeneous Multiscale Methods (HMM). The Landau-Lifshitz equation is the governing equation in micromagnetics, modeling magnetization dynamics. The considered problem involves two different scales which interact with each  other: a fine scale, on which small material variations can be described, and a coarse scale for the overall magnet. Since the fast variations are much smaller than the coarse scale, the computational cost of resolving  these scales in a direct numerical simulation is very high. The idea behind HMM therefore is to use a coarse macro model,  involving some missing quantity, in combination with an exact micro model that provides the information necessary to complete the macro model using an averaging process, the so-called  upscaling. This approach results in a computational cost that is independent of the fine scale, ε.

The included papers focus on different aspects of the problem, together providing both error estimates and implementation details.

Paper I investigates homogenization of the given Landau-Lifshitz  equation with a rapidly oscillating material coefficient in a periodic setting. Equations for the homogenized solution and the corresponding correctors are derived and estimates for the error introduced by homogenization are given. Both the difference between actual and homogenized solution as well as corrected approximations are considered. We show convergence rates in ε up to final times  T ∈ O(ε^σ), where  0 <  σ ≤ 2, in H^q Sobolev norms. Here the choice of  q is only restricted by the regularity of the solutions.

In Paper II, three different ways to set up HMM are introduced, the  flux, field and torque model. Each model involves a different  missing quantity in the HMM macro model.  In a periodic setting,  the errors introduced when approximating the missing  quantities are analyzed. In all three models  the upscaling errors are bounded similarly and can be reduced to O(ε) when choosing the involved parameters  optimally.

A finite difference based implementation of the field model is studied in Paper III. Several important aspects, such as choice of  time integrator, size of the micro domain, boundary conditions for the micro problem and the influence of various parameters introduced in the upscaling process are discussed. We moreover introduce the idea to use artificial damping in the micro problem to obtain a more efficient implementation.

Finally, a more physical setup is considered in Paper IV. A finite element macro model that is combined with a finite difference  micro model is proposed. This approach is based on a variation of  the flux model introduced in Paper II. A problem setting with  Neumann boundary conditions and involving several terms in the so-called effective field is considered. Numerical examples show  the viability of the approach.

Additionally, several geometric time integrators for the Landau-Lifshitz equation are reviewed and compared in a technical  report. Their properties are investigated using numerical examples.

I denna avhandling undersöks en multiskal-version av Landau-Lifshitz-ekvationen och hur detta problem kan lösas med hjälp av så kallade heterogena multiskalmetoder (HMM). Landau-Lifshitz-ekvationen är huvudekvationen inom mikromagnetism och modellerar magnetismens dynamik i en ferromagnet. I problemet som behandlas i avhandlingen finns två viktiga skalor: en mikroskala där variationer i det magnetiska  materialet representeras och en makroskala för hela magneten. Eftersom variationerna på mikroskalan är mycket små jämfört med makroskalan blir beräkningskostnaden väldigt stor i en direkt  simulering där de små variationerna löses upp. Ett alternativ till  en sådan direkt simulering är att använda HMM. Idén bakom denna  metod är att man använder en så kallad makromodell som saknar vissa  parametervärden. Den kan diskretiseras med ett grovt beräkningsnät. De okända värdena i makromodellen approximeras i en så kallad upskalningsprocedur, där medelvärden bildas baserad på lösningen till ett mikroproblem. För varje diskretiseringspunkt i makroproblemet löses ett sådant mikroproblem noggrannt i tid och rum. Med denna metod får man en  beräkningskostnad som inte beror på hur liten den fina skalan, ε, är.

Rapporterna som är en del av denna avhandling fokuserar på olika komponenter som behövs för att lösa och analysera problemet. De fel som uppstår när man använder HMM undersöks och implementeringsfrågor utreds.

Artikel I handlar om homogenisering av det periodiska Landau-Lifshitz-problemet med en snabbt oscillerande materialkoefficient. Vi härleder ekvationer för den homogeniserade  lösningen och de tillhörande korrektorerna samt analyserar felen som uppstår. Vi tar hänsyn till två olika fel, skillnaden mellan lösningen till originalproblemet och det homogeniserade problemet samt till korrigerade approximationer. För sluttider T ∈ O(ε^σ), där 0 <  σ ≤ 2, visar vi konvergenshastigheter med avseende på  ε  i H^q Sobolevnormer. Värdena som kan väljas för q inskränks bara av lösningarnas regularitet.

I artikel II presenteras tre olika upplägg för HMM makroproblemet som kallas för flödesmodell, fältmodell och vridesmomentsmodell. Skillnaden mellan modellerna är att olika parametervärden saknas och därför behöver approximeras. För periodiska problem analyseras felen som uppstår på grund av approximationen. För alla tre modeller kan liknande gränser för uppskalningsfelen visas. Om man väljer alla parametrar optimalt får man ett fel som är O(ε) .

Artikel III beskriver en implementation av fältmodellen som är baserad på finita differensmetoden. Den behandlar olika viktiga aspekter så  som tidsstegningsmetod, mikroproblemets storlek och vilka randvärden som kan väljas för mikroproblemet. Dessutom undersöks påverkan av olika parametrar som ingår i uppskalningen. Utöver det diskuteras idén att använda artificiell dämpning i mikroproblemet  för att få en mer effektiv implementation.

I artikel IV behandlas en version av Landau-Lifshitz ekvationen med en oscillerande materialkoefficient som är närmare den fysikaliska modellen. Vi använder finita elementmetoden för makromodellen och kombinerar den med en mikromodell som diskretiseras med finita differenser. Grunden för detta  tillvägagångsätt utgörs av en variation av flödesmodellen som  introducerades i artikel II.  Dessutom tar vi i artikel IV hänsyn till Neumann-randvillkor och tar med flera komponenter i den så kallade effektiva fälten, inte bara den termen som beskriver  interaktionen mellan magnetiska moment som används i artikel I-III. Numeriska experiment visar att den föreslagna metoden ger  rimliga resultat.

Dessutom granskas och jämnförs flera geometriska tidsstegningsmetoder för Landau-Lifshitz-ekvationen i en teknisk  rapport. Deras egenskaper undersöks med hjälp av numeriska  exempel.