This thesis is concerned with computational methods for solving boundary integral equations (BIE) on surfaces defined without explicit parametrization, called Implicit Boundary Integral Methods (IBIM). Using implicit methods for describing surfaces, such as the level-set method, can be advantageous for complex geometries and problems where the surface evolves over time. 

In the IBIM setting, the surface integrals appearing in the BIE are written as volume integrals over domains surrounding the surface using the signed distance function. The singular integrands defined on the surface become functions singular along a straight line in the volume. Accurately integrating such functions is challenging as the special quadrature rules previously developed for BIE only deal with point singularities aligned with the grid in R², and not line singularities in R³.

In this thesis we focus on developing a framework for integrating three-dimensional functions singular along a line using the trapezoidal rule. We first split the three-dimensional problem in a composition of two-dimensional problems, where the singularity is only in a point unaligned with the grid. We then develop corrected trapezoidal rules to deal with these two-dimensional singular integrands with point singularities unaligned with the grid. Moreover we develop generalizations to such rules to Rⁿ for a wide class of functions which can reach arbitrarily high order. Then we develop expressions and approximations of the singular layer kernels from IBIM in a way that can be used with the corrected trapezoidal rules. The expressions are related to the approximation of the surface in the target points, and the higher the order of approximation of the surface the more accurate the expressions of the kernels.

We adapt and apply the quadrature methods to the computation of the electrostatic potential of macromolecules immersed in aqueous solvent. For this application, the surface represents the solute-solvent interface where the molecule and the solvent particles interact. The potential solves the linearized Poisson-Boltzmann equation, but can be written as the solution of a coupled system of BIE. 

The corrected trapezoidal rules developed aim to showcase IBIM as a valid and robust alternative to standard techniques for BIE for computationally intensive applications. 

Denna avhandling behandlar beräkningsmetoder för att lösa randintegralekvationer (RIE) på ytor som inte är definierade med en explicit parameterisering. Metoderna betecknas implicita randintegralmetoder (IRIM). Att använda en implicit beskrivning av ytor, som i level-set-metoden, kan vara fördelaktigt när ytans geometri är komplicerad och när ytan inte är konstant i tiden.

I IRIM används avståndsfunktionen (med tecken) till ytan för att skriva om ytintegralerna i RIE till volymsintegraler över ett område som omsluter ytan. De singulära integranderna i ytintegralen blir då integrander i volymsintegralen som är singulära längs en linje, vilket gör det till en svår utmaning att noggrant approximera integralerna numeriskt. Speciella kvadratur-metoder har tidigare utvecklats för RIE men bara för punkt-singulariteter i R², inte för linje-singulariteter i R³.

I denna avhandling utvecklar vi ett ramverk baserat på trapetsregeln för att integrera funktioner i tre dimensioner som är singulära längs en linje. Vi approximerar först den tre-dimensionella integralen med en summa av två-dimensionella integraler där integranden är singulär i en punkt, som i allmänhet inte sammanfaller med en grid-punkt. Vi tar sedan fram en korrigerad trapetsregel för dessa singulära integrander i två dimensioner. Vi generaliserar även den korrigerade trapetsregeln till integraler i Rⁿ och godtyckligt hög noggrannhetsordning, för en stor klass av integrander med punkt-singulariteter, där singulariteten inte behöver sammanfalla med grid-punkterna. Vi visar sedan hur man kan approximera och uttrycka de singulära integranderna i IRIM så att de korrigerade trapetsreglerna kan användas för att approximera volymsintegralerna. Uttrycken beror starkt på ytans form och högre ordnings approximationer av ytan ger noggrannare approximation av integranderna och integralerna.

Vi använder slutligen de nya kvadraturmetoderna för att beräkna den elektrostatiska potentialen runt makromolekyler i en vattenlösning. I denna tillämpning utgörs ytan av gränssnittet mellan molekylen och lösningen där deras respektive atomer interagerar. Potentialen satsifierar den linjäriserade Poisson-Boltzmann-ekvationen, men kan också skrivas som lösningen till ett system av kopplade RIE.

Målet med dessa metoder och angreppssätt är att lyfta fram IRIM som ett användbart och robust alternativ till standardmetoder för RIE i beräkningskrävande tillämpningar.