The Kompaneets equation describes the spectrum formation when hot fermions are injected into an opaque fermion-photon plasma in thermal equilibrium and inverse Compton-scatterings occur. The equation has three free parameters, the initial plasma thermal energy θ_u, the final plasmathermal energy θ_r and the average photon energy gain y_r. In this study I use the parameters R = θ_r/θ_u, θ_r and y_r. The created spectrum has different properties, of which an important one is the mean photon energy ε_d. In this thesis, I aim to find the dependencies of the mean photon energy on the three Kompaneets parameters. I chart the parameter spaces and find correlation between the mean photon energy and the individual parameters. I describe the relations between the mean photon energy and the Kompaneets quantities empirically, constructing a function where I try to separate the variables as far as possible. For general results, I study a wide range of each parameter, which forces me to make a broken power-law description of the mean energy. I arrive at a function of the form ε_d(R, y_r, θ_r) = g(R, y_r) R^k(y_r) 3θ_r. I perform an error analysis and see that the majority of the errors of the new method is ≲ 2%, while the previous (tabulated value based approximation) method had the majority of the errors ≲ 70%. This means an effective improvement of the method by a factor 35. Then, I discuss the behaviour of the mean energy in the Kompaneets parameterspace. Finally, I outline a similar analysis of another property of the Kompaneets spectrum, the Compton temperature.

Kompaneetsekvationen beskriver hur spektrumet bildas när högenergetiska elektroner injiceras i en ogenomskinlig fermion-fotonplasma i termisk jämvikt och när dessa växelverkar genom invers Comptonspridning. Ekvationen har tre fria parametrar, termiska energin före och efter injektionen i plasman, θ_u respektive θ_r samt den genomsnittliga energivinsten yr hos fotonerna. I denna studie används parametrarna R = θ_u/θ_r, θ_r och y_r. Det bildade spektrumet har olika egenskaper, varav en viktig är medelenergin ε_d hos fotonerna. I denna uppsats undersöks medelenergins parameterberoenden på de tre Kompaneetsparametrarna. Genom att parameterrummen kartläggs, hittas det korrelation empiriskt mellan medelenergin och Kompaneetsstorheterna. På detta vis bygger jag upp en funktion där jag tillämpar variabelseparation så gott det går. För att erhålla allmänna resultat undersöks breda intervall i varje parameter. Detta tvingar mig att konstruera en s. k. bruten potenslagsbeskrivning av medelenergin. Resultatet blir en funktion på formen ε_d(R, y_r, θ_r) = g(R, y_r) R^k(y_r) 3θ_r. En felanalys utförs, vilken visar att merparten av felen i den nya metoden är ≲ 2%. Detta kan jämföras med den föregående approximationsmetoden (baserad på tabellerade värden), som hade merparten av felen ≲ 70%. Detta innebär en metodförbättring med en faktor 35. Sedan diskuteras beteendet av medelenergin i parameterrummet. Till slut skisseras en liknande analys av en annan viktig spektrumegenskap, Comptontemperaturen.