Model order reduction techniques are a powerful tool to ease the computational burden of simulating complex systems. By reducing the dimensionality of high-fidelity models, while preserving essential system dynamics, model order reduction enables faster and more efficient simulations without compromising accuracy. This reduction in computational complexity enables sensitivity analysis, optimization, and control design of complex systems making it particularly beneficial for time-critical applications that require real-time or near-real-time simulations.

Projection-based model order reduction is a prominent rechnique in the field of model order reduction which involves constructing a reduced basis from the original system and projecting the system dynamics onto a small number of generalized states. A popular method for nonlinear systems is the Proper Orthogonal Decomposition which computes this basis based on pre-computed snapshots of the solution in an offline stage. However, unless the reduced operators can be pre-computed, the cost of projection-based model order reduction still scales with the size of the high-fidelity model and potentially fails to yield significant computational improvements. Until recently, most methods for reducing the evaluation costs of nonlinearities relied on empirical methods, like the Empirical Interpolation Method, which operate on the continuous formulation. COMSOL Multiphysics has a clear separation between the continuous formulation, with its direct access to the weak form, and the discretization, hidden in the core code. While this software enables flexible nonlinear extensions and modifications of the problem, this design makes equation-based model order reduction on the continuous level challenging.

The objective of this thesis is to assess the feasibility of implementing state-of-the-art nonlinear model order reduction techniques within COMSOL Multiphysics. Numerical experiments are conducted to validate and evaluate the effectiveness of the proposed techniques. Furthermore, we propose in this thesis a method to stabilize general saddle point problems, which has been successfully tested on a structural mechanics problem involving a nearly incomplressible nonlinear material.

Tekniker för reduktion av modellordning är ett kraftfullt verktyg för att minska beräkningsbördan vid simulering av komplexa system. Genom att minska dimensionaliteten hos modeller med hög precision, samtidigt som den viktiga systemdynamiken bevaras, möjliggör modellorderrudktion snabbare och effektivare simuleringar utan att kompromissa med precisionen. Denna minskning av beräkningskomplexiteten möjliggör känslighetsanalys, optimering och kontrolldesign av komplexa system, vilket gör det särskilt fördelaktigt för tidskritiska applikationer som behöver realtids- eller nästan realtidssimuleringar.

Projektionsbaserad modellordningsreduktion är en framstående teknik inom området modellordningsreduktion som innebär att man konstruerar en reduceras bas från det ursprungliga systemet och projekterar systemdynamiken på ett litet antal generaliserade stater. En populär metod för olinjära system är Proper Orthogonal Decomposition som beräknar denna bas baserat på förberäknade snapshots av lösningen i ett offline-steg. Men om inte de reducerade operatörerna kan förberäknas, ökar kostnaden för proektionsbaserad reduktion av modellordningen fortfarande med storleken på high-fidelity-modellen och potentiellt misslyckas med att ge signifikanta beräkningsförbättringar. Fram till nyligen har de flesta metoder för att minska konstnaderna för utvärdering av olinjäriteter förlitat sig på empiriska metoder, som den Empirical Interpolation Method, som arbetar med den kontinuerliga formuleringen. COMSOL Multiphysics har en tydlig separation mellan den kontinuerliga formuleringen, med direkt tillgång till den svaga formen, och diskretiseringen, som är dold i kärnkoden. Även om denna programvara möjliggör flexibla olinjära tilläff och modifieringar av problemet, gör denna design ekvationsbaserad modellorderreduktion på den kontinuerliga nivån utmanande.

Syftet med denna uppsats är att bedöma möjligheten att implementera toppmoderna tekniker för reduktion av olinjär modellordning inom COMSOL Multiphysics. Numeriska experiment genomförs för att validera och utvärdera effektiviteten hos de föreslagna teknikerna. Dessutom föreslår vi i denna avhandlning en metod för att stabilisera generella sadelpunktsproblem, som framgångsrikt har testats på ett strukturmekaniskt problem som involverar ett nästan inkompressibelt olinjärt material.