Change search
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
Virvlars rörelse i två dimensioner
KTH, School of Engineering Sciences (SCI), Mathematics (Dept.).
KTH, School of Engineering Sciences (SCI), Mathematics (Dept.).
2012 (Swedish)Independent thesis Basic level (degree of Bachelor), 10 credits / 15 HE creditsStudent thesis
Abstract [sv]

Tillämpad  ödesmekanik. För att härleda Eulers ekvationer gås tre fysikaliska

principer igenom, som behöver uppfyllas. I  ödesmekaniken dyker

behovet av att kunna derivera med avseende på både position och tid,

därav blir materialderivatan ett naturligt redskap.

När vi talar om  öden stöter vi ofta på benämningen vorticitet. Vorticitetens

förhållande till  ödets hastighetsfält studeras; även beräkningen

av vorticiteten studeras genom att titta på komponenterna av hastighetsf

ältet. Olika typer av virvelkoncept såsom virveltub, virvellament och

virveltråd gås även igenom. Slutligen behandlas begreppet punktvirvel,

som, i två dimensioner, är en diskret virvelapproximation med styrka i en

punkt.

Punktvirvlarnas rörelseekvationersystem av ickelinjära första ordningens

ODE:erbeskrivs i både komplex och reell form. De uttrycker

vardera virvels hastighet i form av de andra virvlarnas positioner och

styrkor. Ett exempel ges där två virvlar, i ett plan utan vare sig ränder

eller hål, rör sig längs en linje vilket leder fram till en sats som säger att

två virvlar i planet utan ränder eller hål följer en rät linje om och endast

om de har samma styrka till beloppet men motsatt tecken. Satsen bevisas

sedan.

Hamiltonfunktionen och Hamiltons ekvationer introduceras först ur

ett allmänt perspektiv för att sedan snäva in på de punktvirvelspeci-

ka Hamiltonekvationerna. Med hjälp av Noethers sats visas att energins,

virvelrörelsemängdens och virvelrörelsemängdsmomentets bevarande impliceras

av tids-, translations- och rotationsinvarians.

Genom en rad exempel illustreras var vorticitetscentret benner sig i

ett system av punktvirvlar.

Två viktiga saker, att tänka på då ränder införs, motiveras för att sedan

introducera Greens funktion och låta Hamiltonfunktionen uttryckas

med den. Genom ett exempel visas hur en virvels hastighet, i halvplanet,

kan bestämmas med hjälp av att placera ut en spökvirvel.

Avsnittet virveldipol behandlar begreppet virveldipol och tillämpningar

inom området. En virveldipol skapas när två punktvirvlar överlappar

varandra. Därefter studeras strömfunktionen och Hamiltonfunktionen när

dipoler tillsammans med punktvirvlar benner sig i det oändliga planet.

Ett system av punktvirvlar kan utvecklas självliknande (eng. selfsimilarly).

Om virvelpositionerna uttrycks på komplex form är det då

intressant att känna till deras fas och amplitud. En känd självliknande utveckling

är Kimuras så kallade trippelkollision: tre virvlar kolliderar och

sammansmälter till en virvel. Trippelkollisionen simuleras i simulatorn

som utvecklats parallellt med rapportskrivandet, men det visar sig att de

tre punktvirvlarna kommer ut igen från kollisionspunkten. Detta antas

hända då Matlabs ODE45, som används, når sin feltoleransgräns.

Relativa jämviktspositioner för virvlar studeras med moderna metoder

framtagna av H.Aref. Virvelpositionerna kan associeras med ett genererande

polynom vars rötter är just virveljämviktspositonerna de själva.

Slutligen visas ett antal intressanta specialfall. Av speciellt intresse är de

positioner som ger jämvikt då punktvirvlarna antingen benner sig på en

linje eller i hörnen av en polygon.

Abstract [en]

Abstract

The impact of point vortices in dierent elds is outstanding. They play

an important role in hydrodynamics and mathematical physics. Before

the introduction of point vorticesthat are of central interest throughout

the reportsome basic equations of  uid mechanics are shown. Of

special importance are the Euler equations. These equations are derived

from three conservation laws. Also in  uid mechanics, the need to derive

a  uid that is moving in time is also fundamental. Therefore the material

derivative will be studied.

The term vorticity is introduced early in the report, and some fundamental

concepts of vorticity are shown. A connection between the vorticity

eld and the  uid velocity are studied. Afterwards, dierent vortex

concepts are presented such as vortex tube, line and lament. At the end

of this chapter, the keyword point vortice is treated.

The equations of motion of point vorticesa system of nonlinear rst

order ODE

´

sare described both in complex and real form. They describe

every single vortex's velocity using the others vortices' positions

and strengths. An example is given when two vortices in the plane, without

boundaries or holes, are moving along a line. A theorem follows from

this particular example. The theorem is proved later on.

The Hamiltonian and the Hamiltonian equations are introduced very

brie y at rst. Later on, the Hamiltonian equations are shown from the

point vortices' perspective. With the help of Noether

´

s theorem, the conservation

of the vortex energy, momentum and angular momentum are

implicated by the time, translation and rotation invariances.

Some examples illustrating the centre of vorticity in a system of point

vortices, are also showed.

Two points of importance, when boundaries are present, are motivated.

The Greens function is introduced and used in expressing the Hamiltonian.

It is shown through an example how the velocity of a vortex, in the

half plane, can be derived by placing a ghost vortex on the other side of

the boundary.

An illustration of point dipoles is showed; we will see that a point

dipole is created when two point vortices interact and approach each other.

Moreover, the vorticity eld and system on Hamiltonian form are studied

when dipoles are presented.

A system of point vortices can evolve self-similarly. If the vortex positions

are presented in complex form, it is interesting to know their amplitude

and phase. One known self-similar evolution is Kimura

´

s triple

collision. The triple collision is simulated in MATLAB. The simulation

shows that the three vortices comes out again from their collision point.

The cause may be MATLAB

´

S fault margin of ODE45.

Vortex positions in a relative equilibrium are studied, using methods

developed by H.Aref. The vortex positions are associated with a generating

polynomial. The roots of the polynomial gives the relative equilibria

positions. Moreover, a bunch of interesting applications on this theory

are presented. Of special interest are the congurations where the point

vortices are localised on a line, or at the corners of a polygon.

Place, publisher, year, edition, pages
2012. , 41 p.
National Category
Engineering and Technology
Identifiers
URN: urn:nbn:se:kth:diva-103604OAI: oai:DiVA.org:kth-103604DiVA: diva2:560862
Uppsok
Technology
Supervisors
Available from: 2013-02-12 Created: 2012-10-16 Last updated: 2013-02-12Bibliographically approved

Open Access in DiVA

Aku Kammonen, Marc Tobal kandidatex(775 kB)207 downloads
File information
File name FULLTEXT01.pdfFile size 775 kBChecksum SHA-512
609568631841e3c806a577a2635323ca04f691ed186c4a66412a58eb34129c7d3ed56b79648766ed52653e02736d9840943e10dbab815fa5e8f5aa4349c618c1
Type fulltextMimetype application/pdf

By organisation
Mathematics (Dept.)
Engineering and Technology

Search outside of DiVA

GoogleGoogle Scholar
Total: 207 downloads
The number of downloads is the sum of all downloads of full texts. It may include eg previous versions that are now no longer available

urn-nbn

Altmetric score

urn-nbn
Total: 140 hits
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf