Change search
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf
The Loewner Equation: An introduction and the winding of its trace
KTH, School of Engineering Sciences (SCI), Mathematics (Dept.), Mathematics (Div.).
2015 (English)Independent thesis Advanced level (degree of Master (Two Years)), 20 credits / 30 HE creditsStudent thesisAlternative title
Löwnerekvationen: En introduktion och krökningen hosdess spår (Swedish)
Abstract [en]

In the early 1920's Karl Löwner (later Charles Loewner) introduced a simple differential equation that encodes domains in the complex plane changing continuously in time t into a real-valued function of t. This thesis centers around this equation, called the Loewner Equation, and has three separate parts. The first part proves it is satisfied by conformal maps taking the complement of a simple curve in the upper half plane to the upper half plane. The second part proves the existence and uniqueness of a conformal solution to the Loewner Equation with continuous driving function. Although by no means new results, the intention is nevertheless to provide them from a fresh point of view by means of compactness, rigor and variations of selected partial proofs.

The third part tentatively explores new domains. It starts with treating the existence of a generating curve for the domain of the Loewner Equation with Hölder-1/2 continuous driving function of norm less than 4. In establishing the existence of such a curve, finding a bound for the absolute value of the Loewner function's derivative is crucial. We reproduce the proof of the existence of such a bound by methods of S. Rohde, H. Tran and M. Zinsmeister, and note that these methods seem suitable for investigating similar bounds for the argument of the same function for driving-norm less than 2√2. We present a result for norm less than √2, but otherwise reach the conclusion that the methods considered are unable to produce the desired bound for norms in the interval [√2, 2√2). The explicit traces and maps of logarithmic spirals are calculated showing that the correct upper limit for the norm regarding the existence of a non-trivial bound to the argument is no larger than 2√2.

Abstract [sv]

Karl Löwner (senare Charles Loewner) introducerade på 1920-talet en enkel differentialekvation som kodar information om kontinuerligt växande domäner i komplexa planet i en reellvärd funktion över tid. Denna uppsats behandlar denna ekvation, kallad Löwnerekvationen och har tre separata delar. I den första visar vi att differentialekvationen uppfylls av konforma avbildningar som tar komplementet av enkla kurvor i  övre halvplanet till övre halvplanet. I den andra delen visar vi existensen av- och entydigheten hos en konform lösning till Löwnerekvationen med kontinuerlig drivfunktion. Avsikten  är att presentera resultaten från en ny synvinkel, medelst variationer av utvalda bevis och fokus på kompakthet.

Den tredje delen utforskar nya områden. Vi börjar med att behandla existensen av en genererande kurva för domänen hos lösningen till Löwnerekvation med Hölder-1/2 kontinuerlig drivfunktion av norm mindre än 4. Beviset för existensen av en sådan kurva förlitar sig på en övre begränsning till absolutbeloppet av derivatan till Löwnerekvationens lösning. Vi reproducerar beviset för en sådan begränsning med metoder hämtade från S. Rohde, H. Tran och M. Zinsmeister, och noterar att dessa verkar lämpliga för att finna en liknande begränsning för argumentet till samma funktion med norm hos drivfunktionen mindre än 2√2. Vi presenterar ett resultat för norm mindre än √2, men kommer till slutsatsen att metoderna verkar otillräckliga för att producera en icke-trivial begränsning för norm i intervallet [2, 2). Sist beräknar vi de explicita avbildningarna för en sorts logaritmiska spiraler, vilket leder till ett bevis för att den korrekta övre begränsningen för normen i avseende existensen av en icke-trivial begränsning till argumentet inte är större än 2√2.

 

Place, publisher, year, edition, pages
2015.
Series
TRITA-MAT-E, 2015:06
National Category
Mathematics
Identifiers
URN: urn:nbn:se:kth:diva-161214OAI: oai:DiVA.org:kth-161214DiVA: diva2:794612
Subject / course
Mathematics
Educational program
Master of Science - Mathematics
Supervisors
Examiners
Available from: 2015-03-12 Created: 2015-03-10 Last updated: 2015-03-12Bibliographically approved

Open Access in DiVA

fulltext(1106 kB)241 downloads
File information
File name FULLTEXT01.pdfFile size 1106 kBChecksum SHA-512
797ca152645b7ae716f40250cded0cbf2097632b74b6c363db02a508a6aba8789075d4cd37597648fd38b108b753667d9c73eb77f057cf3002575ab9d8b7e00b
Type fulltextMimetype application/pdf

By organisation
Mathematics (Div.)
Mathematics

Search outside of DiVA

GoogleGoogle Scholar
Total: 244 downloads
The number of downloads is the sum of all downloads of full texts. It may include eg previous versions that are now no longer available

urn-nbn

Altmetric score

urn-nbn
Total: 263 hits
CiteExportLink to record
Permanent link

Direct link
Cite
Citation style
  • apa
  • harvard1
  • ieee
  • modern-language-association-8th-edition
  • vancouver
  • Other style
More styles
Language
  • de-DE
  • en-GB
  • en-US
  • fi-FI
  • nn-NO
  • nn-NB
  • sv-SE
  • Other locale
More languages
Output format
  • html
  • text
  • asciidoc
  • rtf