We study Frege proofs using depth-d Boolean formulas for the Tseitin contradiction on n x n grids. We prove that if each line in the proof is of size M then the number of lines is exponential in n/(logM)(O(d)). This strengthens a recent result of Pitassi et al. [12]. The key technical step is a multi-switching lemma extending the switching lemma of Hastad [8] for a space of restrictions related to the Tseitin contradiction. The strengthened lemma also allows us to improve the lower bound for standard proof size of bounded depth Frege refutations from exponential in (Omega) over tilde (n(1/59d)) to exponential in (Omega) over tilde (n(1/(2d-1))).

Propositional proof complexity is the study of certificates of infeasibility. In this thesis we consider several proof systems with limited deductive ability and unconditionally show that they require long refutations of the feasibility of certain Boolean formulas. We show that the depth $d$ Frege proof system, restricted to linesize $M$, requires proofs of length at least $\exp\bigl(n/(\log M)^{O(d)}\bigr)$ to refute the Tseitin contradiction defined over the $n \times n$ grid graph, improving upon the recent result of Pitassi et al. [PRT21]. Along the way we also sharpen the lower bound of Håstad [Hås20] on the depth $d$ Frege refutation size for the same formula from exponential in $\tilde{\Omega}(n^{1/59d})$ to exponential in$\tilde{\Omega}(n^{1/(2d-1)})$. We also consider the perfect matching formula defined over a sparse random graph on an odd number of vertices $n$. We show that polynomial calculus over fields of characteristic $\neq 2$ and sum of squares require size exponential in $\Omega(n/\log^2 n)$ to refute said formula. For depth $d$ Frege we show that there is a constant $\delta > 0$ such that refutations of these formulas require size $\exp\bigl(\Omega(n^{\delta/d})\bigl)$. The perfect matching formula has a close sibling over bipartite graphs: the graph pigeonhole principle. There are two methods to prove resolution refutation size lower bounds for the pigeonhole principle. On the one hand there is the general width-size tradeoff by Ben-Sasson and Wigderson [BW01] which can be used to show resolution refutation size lower bounds in the setting where we have a sparse bipartite graph with $n$ holes and $m \ll n^2$pigeons. On the other hand there is the pseudo-width technique developed by Razborov [Raz04] that applies for any number of pigeons, but requires the graph to be somewhat dense. We extend the latter technique to also cover the previous setting and more: for example, it has been open whether the functional pigeonhole principle defined over a random bipartite graph of bounded degree and $\poly(n) \ge n^2$ pigeons requires super-polynomial size resolution refutations. We answer this and related questions. Finally we also study the circuit tautology which claims that a Boolean function has a circuit of size $s$ computing it. For $s = \poly(n)$ we prove an essentially optimal Sum of Squares degree lower bound of $\Omega(s^{1-\eps})$ to refute this claim for any Boolean function. Further, we show that for any $0 < \alpha < 1$ there are Boolean functions on $n$ bits with circuit complexity larger than$2^{n^\alpha}$ but the Sum of Squares proof system requires size $2^{\bigl(2^{\Omega(n^\alpha)}\bigr)}$ to prove this. Lastly we show that these lower bounds can also be extended to the monotone setting.

Propositionell beviskomplexitet är studerar certifikat av icke-satisfierbarhet. Vi betraktar bevissystem med begränsad deduktivförmåga och bevisar ovillkorliga undre gränser för längden på vederläggningar av formlers satisferbarhet. Denna avhandling bevisar flera nya sådana undre gränser för bevissystemen resolution, polynomialkalkyl, kvadratsummor, och Frege-system av begränsat djup. Vi visar att Frege-systemet av djup $d$, begränsat till rader av storlek $M$, kräver minst bevis av längd minst $\exp\bigl(n/(\log M)^{O(d)}\bigr)$ för att motbevisa Tseitin-kontradiktionen definierad över $n \times n$-rutnätet, vilket förbättrar ett nyligen visat resultat av Pitassi et al. [PRT21]. Längs vägen skärper vi även Håstads undre gräns [Hås20] för längd för Frege av djup $d$ för samma formel från exponentiell i $\tilde{\Omega}(n^{1/59d})$ till exponentiell i $\tilde{\Omega}(n^{1/(2d-1)})$. Vi betraktar också formeln för perfekt matchning över en gles slumpgraf med ett udda antal hörn $n$. Vi visar att polynomkalkyl över kroppar med karaktäristik $\ne 2$ och kvadratsummor kräver längd exponentiell i $\Omega(n/\log^2 n)$ för att motbevisa denna formel. För Frege av djup $d$ visar vi att det finns en konstant $\delta > 0$ så att vederläggningar av dessa formler kräver storlek $\exp\bigl(\Omega(n^{\delta/d})\bigl)$. Formeln för perfekt matchning har ett nära syskon över bipartitagrafer: duvslagsprincipen över grafer. Det finns två metoder för att visa undre gränser för refutations för duvslagsprincipen. Å ena sidan finns Ben-Sasson och Wigdersons [BW01] generella avvägning mellan bredd och storlek som kan användas för att visa undre gränser för resolution i fallet där vi har en gles bipartit graf med $n$ hål och $m \ll n^2$ duvor. Å andra sidan finns pseudo-bredd-tekniken utvecklad av Razborov[Raz04] som kan appliceras för valfritt antal duvor, men kräver att grafen är någorlunda tät. Vi utökar den senare tekniken till att även täcka det förstnämnda fallet och mer: till exempel har det varit öppet om den funktionella duvslagssprincipen definierad över en slumpmässig bipartit graf med begränsade gradtal och $\poly(n) \ge n^2$ duvor kräver motbevis av superpolynomisk storlek. Vi besvarar detta och relaterade frågor. Slutligen studerar vi också kretstautologin som hävdar att en Boolean funktion har en krets av storlek $s$ som beräknar den. Vi bevisar en väsentligen optimal undre gräns för gradtal för kvadratsummor på $\Omega(s^{1-\eps})$ för att motbevisa detta påstående för varje Boolesk funktion, för $s > \poly(n)$. Vidare visar vi att det för alla $0 < \alpha < 1$ finns Booleska funktioner på $n$ bitar med kretskomplexitet större än $2^{n^\alpha}$ men där kvadratsummor kräver storlek $2^{\bigl(2^{\Omega(n^\alpha)}\bigr)}$ för att bevisa detta.

We study the complexity of proving that a sparse random regular graph on an odd number of vertices does not have a perfect matching, and related problems involving each vertex being matched some pre-specified number of times. We show that this requires proofs of degree (n= log n) in the Polynomial Calculus (over fields of characteristic 6= 2) and Sum-of-Squares proof systems, and exponential size in the bounded-depth Frege proof system. This resolves a question by Razborov asking whether the Lovasz-Schrijver proof system requires nrounds to refute these formulas for some > 0. The results are obtained by a worst-case to averagecase reduction of these formulas relying on a topological embedding theorem which may be of independent interest.

We study the complexity of proving that a sparse random regular graph on an odd number of vertices does not have a perfect matching, and related problems involving each vertex being matched some pre-specified number of times. We show that this requires proofs of degree Ω(n/logn) in the Polynomial Calculus (over fields of characteristic ≠2) and Sum-of-Squares proof systems, and exponential size in the bounded-depth Frege proof system. This resolves a question by Razborov asking whether the Lovász-Schrijver proof system requires nδ rounds to refute these formulas for some δ>0. The results are obtained by a worst-case to average-case reduction of these formulas relying on a topological embedding theorem which may be of independent interest.