This thesis investigates three discrete Laplace operators: the graph Laplacian, combinatorial Laplacian, and the more recently introduced persistent Laplacian. We discuss how these operators relate to each other and study their spectral properties. The graph Laplacian is a well-studied operator that plays a central role in spectral graph theory. Its spectrum contains information about the connectivity of the underlying graph and is the foundation for spectral clustering. The combinatorial Laplacian is a natural generalization of the graph Laplacian to simplicial complexes. It encodes the homology of the underlying simplicial complex and provides a way to compute the Betti numbers of the simplicial complex and cluster its simplicies based on the homology. The persistent Laplacian is a bridge between persistent homology and the theory of discrete Laplacians. It extends the combinatorial Laplacian to simplicial pairs and can be used to compute persistent Betti numbers. The last part of this thesis is a brief exploratory analysis of brain network models representing a progression of Parkinson's based on these discrete Laplacians.

I det här examensarbetet undersöks tre diskreta Laplace-operatorer: graf-Laplacianen, den kombinatoriska Laplacianen och den nyligen introducerade beständiga Laplacianen. Vi diskuterar hur dessa operatörer förhåller sig till varandra och studerar deras spektrala egenskaper. Graf-Laplacianen är en välstuderad operator som spelar en central roll i spektralgrafteori. Dess spektrum innehåller information om den underliggande grafens konnektivitet och utgör grunden för spektralklustring. Den kombinatoriska laplacianen är en naturlig generalisering av graf-Laplacianen till förenklade komplex. Den innehåller information om homologin för det underliggande förenklade komplexet och ger ett sätt att beräkna Betti-talen för det förenklade komplexet och klustra dess förenklingar baserat på homologin. Den beständiga Laplacianen är en brygga mellan beständig homologi och teorin om diskreta Laplacianer. Den utvidgar den kombinatoriska Laplacianen till förenklade par och kan användas för att beräkna beständiga Betti-tal. Den sista delen i det här examensarbetet innehåller en kort utforskande analys av modeller för hjärnnätverk som representerar en utveckling av Parkinsons sjukdom och som bygger på dessa diskreta Laplacianer.