In modern condensed matter physics there exists a plethora of different phases of matter, which interact in a myriad of ways, and in this project we seek to understand the intersection of a few of these through a time-driven two-band model. Specifically, we are interested in investigating the interplay between Ander- son transitions and topological phases in a Floquet system, and in this pursuit we find a one dimensional topological skin effect on the boundary of a two dimensional system.The Rudner-Lidner-Berg-Levin model is a Floquet Topological insulator which functions through a simple and clever reconstruction of the quintessential aspect of a Chern insulator(the edge current) using Floquet engineering. By periodically activating and deactivating the vertices of the lattice it is able to create currents which travel around the edge of the system while leaving the bulk insulating, leading to a Chern insulating phase. Moreover, as a result of the time/energy-periodicity of a Floquet system the energy has a fundamental domain from -pi to pi and there exists an additional gap between the two bands of the system, through the -pi/pi periodic boundary, which allows for an additional kind of edge-mode which contributes inversely to the Chern number, leading to a Floquet specific topological phase; the Anomalous Floquet topological insulator(AFTI).

Further complicating this patchwork of phases is the introduction of strong onsite-disorder inducing An- derson transitions, which has the effect of condensing the two topological phases of this model into a single topological phase(Anomalous Floquet Anderson Insulating(AFAI) phase), as well as disrupting the shape of the phase landscape into that of an Anderson insulator by overpowering the onsite potential in the Hamiltonian. 

Within the RLBL model it is also found that when an edge site is removed from the floquet operator all the states pile up around the defect similarly to the skin-effect in the Hatano-Nelson model(a non-hermitian equivalent of the Su-Schrieffer-Heeger(SSH) model), producing a one dimensional non-hermitian skin effect on the edge of this two dimensional model. When mapping this effect we find that corresponds strongly to the AFTI phase(though it exists also in the Chern insulating(CI) phase), and that under disorder it persists within the AFAI phase.

In this project an array of different methods have been used to map and understand aspects of the model: momentum-space winding of bands and gaps has been used to produce a picture of the non-disordered sys- tem state and to validate the model, a real space topological invariant is used to identify the topology both with and without disorder, and direct study of the relevant observables further validates those findings. Additionally the magnetic response of the energy spectra was studied to find that it is possible to wind the AFAI and AFTI edge-energies around the spectrum, something which could possibly be used similarly to a momentum-winding invariant in disordered systems. All of these findings come together to produce a conclusive picture of the mixed order topology in unitary systems.

I den moderna kondenserade materiens fysik finns det en uppsjö av olika tillstånd som materia kan uppta och i detta projekt försöker vi förstå skärningspunkten mellan några av dessa med hjälp av en tidsdriven tvåbandsmodell. Specifikt vill vi undersöka förekomsten av en endimensionell icke-hermitisk skinneffekt på ett tvådimensionellt gitter, samspelet mellan en Anderson-övergångar och Kvantum Hall Effekten i ett Floquet-system med två distinkta topologiska faser som motsvarar den effekten, samt att vi vill undersöka olika kvantiteter som kännetecknar systemfaserna både med och utan störning.

Rudner-Lidner-Berg-Levin-modellen, eller RLBL-modellen som den kommer att kallas genom hela denna avhandling, är en klyftig rekonstruktion av den kännetecknande funktionen i en Chern-isolator(CI), det vill säga strömförande kanter i ett annars isolerande material. Genom att periodiskt aktivera och avaktivera länkarna mellan olika punkter på gittret kan man skapa strömmar som färdas runt kanten av systemet samtidigt som punkter som ligger i mitten på materialet förblir isolerande då strömmen leds i slutna banor, detta är identiskt med en diskret version av Kvantum Hall Effekten vilket leder till en Chernisolerande fas när aktiveringsperioden blir lång nog att länken hinner bära med sig en laddning. Men som ett resultat av tid/energi-periodiciteten i ett Floquet-system finns det två möjliga bandgap mellan de två banden i systemet som möjliggör strömförande kanter, och eftersom de bidrar motvänt till Cherntalet får man då båda gapen leder ström ett Cherntal som är noll och därmed en Floquet-specifik topologisk fas; den så kallade Anomala Floquet-topologiska isolatorn (AFTI). 

Något som ytterligare komplicerar detta lapptäcke av faser är introduktionen av lokala potentialstörningar som inducerar Anderson-övergångar, vilket kondenserar de två topologiska faserna, AFTI och CI, till en enda topologisk fas (den Anomala Floquet-Anderson Isolerande (AFAI) fasen), samt att det deformerar faslandskapet genom att störa ut Hamiltonianens ursprungspotential.

Inom RLBL-modellen har man också funnit att när en kantplats tas bort från Floquetoperatorn samlas alla tillstånd runt defekten på samma sätt som skinneffekten i Hatano-Nelson-modellen (en icke-hermitesk motsvarighet till SSH-modellen), som producerar en endimensionell icke-hermitisk skinneffekt på kanten av denna tvådimensionella modell. När vi kartlägger denna effekt finner vi att den i hög grad motsvarar AFTI-fasen(men finns i lägre grad i CI-fasen), och vid störningar lever effekten kvar inom AFAI-fasen.

I detta projekt har en rad olika metoder använts för att kartlägga och förstå aspekter av modellen: Topologiska invarianter som mäter fasförskjutningen i rörelsemängdsrummet(t.ex. Cherntalet) har använts för att producera bilder av material-faserna och deras övergångar, en så kallad 'Real-space' invariant har använts för att kartlägga de topologiska faserna då störningar introduceras, samt att systemegenskaper som strömföring och vågfunktionens täthet har kartlaggts för att påvisa skinneffekten och vidare bekräfta fasporträtten. Utöver detta har ett magnetiskt fält introducerat, och vi har upptäckt att det går att medelst energispektrumets respons urskilja kantpunkternas energier då de fasförskjuts, något som skulle kunna användas likt en topologisk invariant för att upptäcka faser i system med stora störningar. Alla dessa fynd utgör tillsammans en bild av ordings-blandad topologi i unitära system.