We know that groups of order p, wherepis a prime, are cyclic and are all isomorphic to Zp. That there are only two groups of orderp2up to isomorphisms, both of them abelian is also a well known fact. To continue this procedure we will in chapter one classify the structures of p-groups of orderp3andp4. The structure theorem of abelian groups tells us everything about structuring the abelian p-groups as direct products and so we will define another structure operation, namely the semi-direct product, in order to structure the non-abelian ones as well. We conclude that there are five non-isomorphic groups of order p3, three of those being abelian. Furthermore, when p > 3, we find a semi-direct product for all non-isomorphicp-groups of orderp4for which there are 15. Since the semi-direct product uses the automorphism groups of the groups it takes as arguments we will also study the automorphism groups of the p-groups of orderp2andp3. Chapter two will deal with the subgroup structure of the groups discussed in chapter one. We will determine the number of subgroups in each group as well as acquire some knowledge of the relation between the different subgroups. Our approach will be combinatorial, using presentations. The purpose of the final chapter is to study the representations of the non-abelian p-groups of orderp3andp4through their character tables. Methods for obtaining these characters are both lifting characters of abelian subgroups and by use of the orthogonality relations. The conjugacy classes of these groups will be calculated and a short introduction to representation theory will also be given.

Vi vet att grupper av ordning p, därpär ett primtal, är cykliska och alla är isomorfa med Zp. Att det finns två olika grupper av ordningp2upp till isomorfi, där de båda är abelska, är också ett känt faktum. För att fortsätta i detta spår kommer vi i kapitel ett att klassisficera strukturerna av p-grupper med ordningp3resp.p4. Struktursatsen för ändligt genererade abelska grupper säger redan allt om att strukturera de abelska p-grupperna som direkta produkter och vi kommer att definiera en annan strukturoperation, den semi-direkta produkten, för att strukturera även de icke-abelska. Vi visar att det finns fem icke-isomorfa grupper av ordning p3, därav tre stycken abelska. Vidare, när p >3, finner vi semi-direkta produkter för alla icke-isomorfap-grupper av ordning p4, av vilka det finns15stycken. Eftersom den semi-direkta produkten använder automorfigrupperna av de grupper som den tar som argument kommer vi även att studera automorfigrupperna av p-grupperna av ordningp2ochp3. Kapitel två behandlar delgruppsstrukturen hos de grupper som beaktades i kapitel ett. Vi beräknar antalet delgrupper för varje grupp samt undersöker hur de förhåller sig med varandra. Vårt tillvägagångssätt kommer vara kombinatoriskt, och använder sig av presentationer. Syftet med det sista kapitlet är att studera representationerna av de icke-abelska p-grupperna av ordningp3ochp4med hjälp av deras karaktärstabeller. Metoderna för att hitta dessa är både att lyfta karaktärerna av de abelska delgrupperna samt använda sig av ortogonalitetsrelationerna. Konjugatklasserna av

dessa grupper kommer beräknas och en kort introduktion till representationsteori

kommer också att ges.