Artificial intelligence has become one of the most important fields of study during the last decade. Applications include medical sciences, autonomous vehicles, finance and everyday life. Therefore the analysis of convergence and stability of these algorithms is of utmost importance. One way of analysing the stability and speed of convergence is by the large deviations theory. In large deviations theory, a rate function characterises the exponential rate of convergence of stochastic processes. For example, by evaluating the rate function for stochastic approximation algorithms for training neural networks, faster convergence can be achieved. This thesis consists of five papers that use ideas from large deviation theory to understand and improve specific machine-learning models. 

Paper I proves that a stochastic approximation algorithm satisfies the large deviation principle with a specific rate function. This class of stochastic approximation contains many interesting learning algorithms, such as stochastic gradient descent, persistent contrastive divergence and the Wang-Landau algorithm.

Analysing the rate function from Paper I is not straightforward. In Paper II, we use tools from weak KAM theory to characterise the rate function. The rate function takes the form of a Lagrangian and can be evaluated by calculating the viscosity solution to the corresponding Hamilton-Jacobi equations. In Paper II, we also identify the projected Aubry set, a set of great importance when it comes to describing the viscosity solutions.  

Papers III, IV and V all involve Variational autoencoders (VAE), a generative deep learning model with a latent space structure. In Paper III, we develop an evaluation metric for VAEs based on large deviation theory. The idea is to measure the difference between the induced empirical measure and the prior on the latent space. This is done by training an adversarial deep neural network and proving a modified version of Sanov's theorem. 

Using the adversarial network from Paper III, we develop a stochastic interpolation algorithm for VAEs in Paper IV. The interpolation uses bridge processes and the adversarial network to construct paths that respects both the prior and generate high-quality interpolation paths.

Finally, in Paper V, a clustering algorithm is introduced. The VAE induces a probability distribution on the data space, and in this paper, we introduce an algorithm to estimate the gradient of the distribution. This leads to a stochastic approximation algorithm that gathers data in clusters. 

Artificiell intelligens har blivit en av de viktigaste forskningsfälten de senaste åren. Användningsområden finns inom medicin forskning, självkörande fordon, finans samt vardagsbruk. Analysen av stabilitet och konvergens av dessa algoritmer har därför aldrig varit viktigare. Ett sätt att analysera dessa algoritmer är med hjälp av stora avvikelser teori. I stora avvikelser teori, en hastighets-funktion som karakteriserar den exponentiella konvergens hastigheten för stokastiska processer. Till exempel, genom att evaluera hastighets-funktionen för stokastisk approximations algoritmer för träning av neurala nätverk, snabbare konvergens kan uppnås. Den här avhandlingen består av fem artiklar som tar idéer från stora avvikelser teori för att förstå och förbättra utvalda maskininlärnings modeller. 

Artikel I bevisar att en stokastisk approximations algoritm uppfyller stora avvikelser principen med en specifik hastighest-funktion. Den här klassen av stokastisk approximation innehåller många intressanta maskininlärmnings metoder såsom, stokastisk gradient nedstigning, persistent contrastive divergence och Wang-Landau algoritmen. 

Att analysera hastighetsfunktionen från artikel I är inte enkelt. I artikel II, använder vi verktyg från svag KAM teori för att karakterisera hastighetsfunktionen. Hastighetsfunktionen är på formen av en Lagrangian och kan evalueras genom att hitta viscositetslösningar till motsvarande Hamilton-Jacobi ekvation. I Artikel II så identifierar vi den projicerade Aubry mängden, en mängd som är av stor vikt när det kommer till att beskriva viscositetslönsingar.

Artiklarna III, IV, V behandlar alla Variational autoencers (VAE), en generativ djup inlärningsmodell med latent variabel struktur. I Artikel III, utveklar vi en evaluerings metrik för VAEs baserat på stora aviklser teori. Ideen är att mäta skillnaden mellan den inducerade empiriska måttet och priori fördelningen på latenta rummet. Det åstakoms genom att träna ett adversalt nätverk och genom att bevisa en modifierad version av Sanovs sats. 

Genom att använda det adversala nätverket från artikel III vi utvecklar en stochastisk intepolations algoritm i artikel IV. Interpolations artikeln använder brygg processer och adversala nätverket för att generera interpolationer som respekterar priori fördelningen och genererar hög-kvalitativa trajektorier. 

Slutligen i artikel IV, introduceras en klustringsalgoritm. VAE inducerar en sannolikhetsförednling på data rummet, och i denna artikel, vi introducerar en algoritm för att estimera gradienten av fördelningen. Detta leder till stokastisk approximations algoritm som samlar datan i olika kluster.