This thesis consists of three papers, an individual summary of each paper, and an introduction. The papers are all related to existence, uniqueness, or regularity theory of local and nonlocal partial differential equations (PDEs).

In Paper A, we establish uniqueness for viscosity solutions of the inhomogeneous nonlocal infinity Laplace equation Lu = f, where the right hand side f is a bounded, continuous, and nonpositive function. Uniqueness is proven through a comparison principle.

In Paper B, we use Perron's method to construct viscosity solutions to the equation ∂u/∂t = L u in Ω, and u = g in the complement.

In Paper C we study regularity of a minimizer of the expression J(u) := ∫ F(∇u) dx, where F(x) is a strongly convex function whose second derivatives might jump at |x| = 1. The specific form of F gives rise to a free boundary Γ, and the resulting Euler-Lagrange equation varies over Γ. In this paper we only consider two-phase flat points. We show that under some regularity and non-degeneracy assumptions the asymptotic expansion of a minimizer u can be written as u(x) = a + ν · x + p(x) + q(x), where a ∈ R, ν ∈  R^n. The function p is a broken polynomial that is defined as a C^1 function consisting of one polynomial in the upper half space and another polynomial in the lower half space, and the function q is a rest term. We derive the PDEs that are satisfied by p and q, respectively, and show many regularity properties for the terms in the expansion. This paper is intended to be the first part of a project that aims at establishing regularity of the free boundary Γ.

Denna avhandling består av tre artiklar, en individuell sammanfattning av varje artikel samt en introduktion. Artiklarna är alla relaterade till existens-, entydighets- eller regularitetsteori för lokala och icke-lokala partiella differentialekvationer (PDE:er).

I Artikel A visar vi entydighet för viskositetslösningar till den inhomogena icke-lokala oändlighets-Laplaceekvationen Lu = f, där högerledet f är en begränsad, kontinuerlig och icke-positiv funktion. Vi visar en jämförelseprincip från vilken entydighet följer direkt.

I Artikel B använder vi Perron's metod för att konstruera viskositetslösningar till ekvationen ∂u/∂t = Lu i Ω, där u=g i komplementet.

I Artikel C studerar vi de reguljära egenskaperna hos en minimerare av funktionalen J(u) := ∫ F(∇u) dx, där F(x) är en starkt konvex funktion vars andraderivator kan vara diskontinuerliga då |x|=1. Den specifika strukturen hos F ger upphov till en fri rand Γ, och den resulterande Euler–Lagrange-ekvationen beror av den fria randen. I denna artikel studerar vi enbart tvåfas-punkter. Vi visar att givet några regularitets- och icke-degenereringsantaganden så kan den asymptotiska expansionen av en minimerare u uttryckas som u(x)= a + ν · x + p(x) + q(x), där a ∈ R, ν∈ R^n. Funktionen p är ett så kallat brutet polynom, vilket vi definierar som en C^1-funktion som består av ett polynom i övre halvrymden respektive ett annat polynom i nedre halvrymden. Funktionen q är en restterm med väldigt liten L^2-norm. Vi härleder de partiella differentialekvationerna som p respektive q löser samt visar flera regularitetsresultat för dessa termer. Den här artikeln är avsedd att vara den första delen i ett projekt som syftar till att visa reguljaritetsegenskaper hos Γ.