This thesis is concerned with some qualitative properties of solutions to nonlocal equations. Nonlocal equations, as opposed to local equations such as the Laplace equation, also take into account long-range interac- tions. We are in particular interested in regularity properties, symmetry properties, and boundary behavior of solutions.The thesis includes an introduction, a summary of the results and four papers. All of the papers treat some nonlocal equation. In paper A, we study a parabolic equation involving the fractional p-Laplace op- erator with p ≥ 2. We obtain a scaling critical modulus of continuity for the equations with some right-hand side as well as a local bounded- ness result. In paper B, we study the problem of isolation of the first eigenvalue for an eigenvalue problem involving the fractional Laplace operator, which is related to a fractional Poincaré-type inequality. As a by-product, we also obtain a boundary Harnack principle. Paper C concerns a Morrey type inequality for the fractional Sobolev spaces and the associated extremal functions. We establish existence, some sym- metry properties and we show that the extremal functions have a limit at infinity. Paper D is also a study of a parabolic equation involving the fractional p-Laplace operator. In contrast to the first paper, we deal with the case p < 2. We obtain a modulus of continuity for equations with a bounded right-hand side.

Denna avhandling berör kvalitativa egenskaper hos lösningar av icke- lokala ekvationer. Till skillnad från lokala ekvationer såsom Laplace ek- vation, tar dessa ekvationer hänsyn till funktioners globala beteende. Vi är interesserade av egenskaper som regularitet, symmetri och randbete- ende hos lösningar.Denna avhandling består av en introduktion, en sammanfattning av resultaten och fyra artiklar. Alla artiklar behandlar någon form av icke-lokal ekvation. I artikel A studerar vi paraboliska ekvationer som involverar den fraktionella p-Laplace-operatorn för p ≥ 2. Vi visar att lösningar till den inhomogena ekvationen är lokalt begränsade och Höl- derkontinuerliga, med en explicit Hölderexponent som beror på högerle- dets integrabilitet. I artikel B studerar vi första egenvärdet för en frak- tionell Poincaré-olikhet och visar att det är isolerat. Som en följd av våra resultat erhåller vi även en randanpassad Harnack-olikhet. Artikel C behandlar en fraktionell version av Morreys olikhet och dess extre- maler. Vi visar existens, vissa symmetriegenskaper och att extremalerna har ett gränsvärde i oändligheten. Artikel D innehåller även den en stu- die av paraboliska ekvationer som involverar den fraktionella p-Laplace- operatorn, men till skillnad från den första artikeln behandlar vi fallet p < 2 och här antas högerledet vara begränsat. Vi visar att lösningar är Hölderkontinuerliga, med en explicit Hölderexponent.