Orthogonal polynomial ensembles (OPEs) arise naturally in many models of statistical mechanics, probability theory, combinatorics, and random matrix theory. An important and well-known source of examples of OPEs is the eigenvalues of random Hermitian matrices. Random matrix theory began in 1928 with John Wishart's work, aimed at analysing large datasets. Over the past several decades, the mathematical theory has seen significant advancements, and it continues to be a vibrant area of research today.

Another motivation for studying OPEs comes from random tilings. Random tiling models exhibit phase transitions, where different regions of a tiling exhibit distinct behaviour (e.g., frozen vs. liquid regions). This resembles physical systems with phase boundaries, making random tiling a simple yet powerful model to study phenomena such as crystallisation. 

This thesis is a synthesis of two original studies of the asymptotic behaviour of OPEs. The first part of the thesis consists of an introduction, an overview of the papers, and an outlook of the topics studied. The second part of the thesis includes the original papers. 

Paper A studies the lozenge tilings of a hexagon with the $q$-Racah weights, which serve as a generalisation of the uniform and $q$-volume weights. We show that the height function for this model concentrates near a deterministic limit shape and that the global fluctuations are described by the Gaussian Free Field (GFF). 

Paper B is about OPEs at the mesoscopic scales, which is an intermediate scale between global and local ones. We show that a large class of OPEs have the same limiting fluctuations at the edges in the mesoscopic regime. We extend the method of Breuer and Duits (2016) to varying weights. This approach does not make smoothness assumptions on weights. Hence, our results apply to both continuous and discrete OPEs.  

Ortogonala polynomensembler (OPE:er) förekommer naturligt i många modeller inom statistisk mekanik, sannolikhetsteori, kombinatorik och slumpmatristeori. Hermitiska matrisers egenvärden är en viktig och välkänd källa till OPE:er. Slumpmatristeori inleddes 1928 i och med John Wisharts arbete, som syftade till att analysera stora datamängder. Under de senaste decennierna har den matematiska teorin gjort betydande framsteg och fortsätter även idag att vara ett livligt forskningsområde.

En annan motivation för att studera OPE:er är slumpmässig plattläggning. Modeller för slumpmässing plattläggning uppvisar fasövergångar, där olika regioner av en plattläggning uppvisar skilda beteenden (t.ex. frusna eller flytande regioner). Detta speglar fysikaliska system med fasövergångar, vilket gör slumpmässig plattläggning till en enkel men samtidigt kraftfull modell för att studera fenomen som kristallisation. 

Denna avhandling är en sammanläggning av två originalartiklar om det asymptotiska beteendet hos OPE:er. Den första delen av avhandlingen består av en introduktion, en översikt över artiklarna och en utblick över de studerade ämnena. Den andra delen av avhandlingen består av de originalartiklarna.

Artikel A studerar plattläggning av en hexagon med $q$-Racah-vikter, vilka utgör en generalisering av såväl de likformiga som $q$-volymvikterna. Vi visar att höjdfunktionen för denna modell koncentreras nära en deterministisk gränsform och att de globala fluktuationerna beskrivs av det Gaussiska fria fältet (GFF).

Artikel B fokuserar på mesoskopiska skalor av OPE:er, vilket är en regim mellan de globala och lokala regimerna. Vi visar att en stor klass av OPE:er uppvisar samma fluktuationer vid kanterna i den mesoskopiska regimen. Vi vidareutvecklar metoden som introducerades av Breuer och Duits (2016) till att även omfatta varierande vikter. Metoden kräver inga antaganden om vikternas släthet, vilket gör att våra resultat gäller för både kontinuerliga och diskreta OPE:er.