The development of adaptive mesh refinement capabilities in the field of computational fluid dynamics is an essential tool for enabling the simulation of larger and more complex physical problems. While such techniques have been known for a long time, most simulations do not make use of them because of the lack of a robust implementation. In this work, we present recent progresses that have been made to develop adaptive mesh refinement features in Nek5000, a code based on the spectral element method. These developments are driven by the algorithmic challenges posed by future exascale supercomputers. First, we perform the study of the strong scaling of Nek5000 on three petascale machines in order to assess the scalability of the code and identify the current bottlenecks. It is found that strong scaling limit ranges between 5, 000 and 220, 000 degrees of freedom per core depending on the machine and the case. The need for synchronized and low latency communication for efficient computational fluid dynamics simulation is also confirmed. Additionally, we present how Hypre, a library for linear algebra, is used to develop a new and efficient code for performing the setup step required prior to the use of an algebraic multigrid solver for preconditioning the pressure equation in Nek5000. Finally, the main objective of this work is to develop new methods for estimating the error on a numerical solution of the Navier–Stokes equations via the resolution of an adjoint problem. These new estimators are compared to existing ones, which are based on the decay of the spectral coefficients. Then, the estimators are combined with newly implemented capabilities in Nek5000 for automatic grid refinement and adaptive mesh adaptation is carried out. The applications considered so far are steady and two-dimensional, namely the lid-driven cavity at Re = 7, 500 and the flow past a cylinder at Re = 40. The use of adaptive mesh refinement techniques makes mesh generation easier and it is shown that a similar accuracy as with a static mesh can be reached with a significant reduction in the number of degrees of freedom.

This thesis deals with the improvement of the efficiency of numerical simulations in computational fluid dynamics. Some of the limitations of current algorithms on future exascale supercomputers are addressed with the main goal of using adaptive mesh refinement for the simulation of turbulent and three-dimensional flows. The comparison between two different error estimators is also investigated.The framework considered all throughout this thesis is Nek5000, a highly parallel code based on the spectral element method.

First, the strong parallel scaling of Nek5000 is studied on three petascale machines in order to assess the scalability of the code and identify the current bottlenecks. It is found that the strong scaling limit ranges between 5,000 and 220,000 gridpoints per core depending on the machine and the case. The need for synchronized and low latency communication for fast computations is confirmed. It is also shown that, on a single core, Nek5000 is memory limited rather than compute limited.

Then, a new method for the coarse grid part of the preconditioner for the pressure equation is implemented, which represents a significant improvement compared to existing solvers. We use an algebraic multigrid method from the Hypre library to perform the setup and solver parts on the fly and fully in parallel. The setup phase only amounts to a few percents of the wall clocktime for a single timestep of the solver and is therefore negligible; this is a requirement for adaptive simulations, where the setup must be performed after each adaptation. In addition, the new solver is shown to be suitable for large and complex simulations in three dimensions.

Finally, the main objective of this work is to perform simulations with adaptive mesh refinement to achieve error control and efficient use of computational resources. We develop adjoint error estimators based on the dual-weighted residuals method and also consider more traditional a posteriori error indicators for comparison. Adaptive simulations are performed on test cases of increasing complexity: the steady flow in a lid-driven cavity in 2D and 3D, the steady flow past a 2D cylinder and the turbulent flow inside a constricted periodic channel in 3D. It is concluded that adjoint error estimators are preferred for flows with a strongly convective nature, while the more straightforward spectral error indicators are sufficient otherwise. Moreover, we perform an adaptive simulation of the turbulent flow past a NACA4412 profile at Reynolds number Re = 850,000, using the spectral error indicators. In comparison to cases with a fixed mesh, the aspect ratio of grid elements in the far field remains low, the convergence of the pressure solver is significantly sped up and the much larger computational domain allows true free-stream boundary conditions and thus makes the results less dependent on the boundary conditions.

Den här avhandlingen syftar till att utveckla metoder för att öka effektiviteten av strömningsmekaniska simuleringar. Arbetet visar också vissa begränsningarna hos nuvarande algoritmer om de ska användas på framtida superdatorer i exaskala. Adaptiv nätförfining används i den här avhandlingen för att simulera tredimensionella turbulenta strömningar. Dessutom jämförs två stycken olika metoder för att uppskatta felet av lösningen till Navier–Stokes ekvationer. Hela arbetet baseras på koden Nek5000, som använder den spektrala elementmetoden. Inledningsvis undersöker vi den starka parallela skalbarheten av Nek5000 på tre superdatorer i petaskala för att bedöma kodens skalbarhet och identifiera befintliga flaskhalsar. Det visas att den starka skalningen per kärna för koden är begränsad till mellan 5, 000 och 220, 000 frihetsgrader, beroende på superdator och fall. Det är även bekräftat att synkroniserad kommunikation medliten fördröjning är nödvändigt för att uppnå effektiva strömningsmekaniska simuleringar. Nek5000 är minnesbegränsat på en enskild kärna. Sedan implementeras en ny metod som förbättrar förkonditioneringen av tryckequationen på den grova delen av nätet. Vi använder en algebraisk flernätsmetod från Hypre för att automatiskt sätta upp lösningsmatriserna och lösa algoritmen på parallella datasystemer. Tiden som krävs för att initiera ett tidsteg är försumbar jämfört med beräkningstiden; det här är ett krav för adatiptiva simuleringar som behöver initiera efter varje adaption av nätet.Dessutom bekräftas det att den nya lösaren är lämplig för att simulera stora och komplexa tredimensionella strömningsproblem.

Huvudsyftet med arbetet att utföra simuleringar med adaptiva nätförfiningar för att kunna kontrollera felet på lösningen och att effektivt använda beräkningsresurser. Vi utvecklar adjunkta feluppskattningar baserat på dubbelviktade residualmetoden och jämför också med traditionella metoder som uppskattar felet av lösningen i efterhand (eng. spectral error indicators). Adaptiva nätförfiningssimuleringar genomförs på testfall som blir mer och mer komplexa: en stationär strömning i en kavitet med en rörlig rand (eng. lid-driven cavity) både två- och tredimensionellt, stationärt flöde kring en tvådimensionell cylinder och turbulent tredimensionell kanalströmningen i en periodisk domän.Slutsatsen är att adjunkta feluppskattningar föredras för flöden där konvektion dominerar, medan traditionella metoder för att uppskatta felet är tillräckligt bra för alla andra fall. Vi genomför även en adaptiv simulering av det turbulenta flödet över en NACA4412 vingprofil vid ett Reynoldstal Re = 850, 000, där vi använder traditionella metoder för att uppskatta felet. Resultaten från simuleringen har jämförts med simuleringar på ett nät utan adaptiv förfining, slutsatsen är en snabbare konvergens för att lösa ekvationen för trycket och att resultaten blir mindre beroende av randvillkoren på grund av en större domän,som tillåter korrekta friströmsrandvillkor.