Chiral anomalies and topological phases of matter form the basis of the research presented in this dissertation. The chiral anomaly is considered both in the context of magnetic Weyl semimetals and in the context of non-Hermitian Dirac actions. Topological phases of matter play a role in this work through the research on Weyl semimetals and in the formulation of local topological markers.

The simplest example of magnetic Weyl semimetals consist of two Weyl cones separated in momentum space by a magnetisation vector which acts as an axial gauge field. We describe the emergence of axial electromagnetic fields by considering a magnetic field driven domain wall in this magnetisation. The parallel axial magnetic and axial electric fields give rise to the axial anomaly, and in turn to the chiral magnetic effect; a nonequilibrium current located at the domain wall. The chiral magnetic effect is a source of electromagnetic radiation, and a measurement of this radiation would provide evidence of the existence of the axial anomaly.

Electronic manipulation of domain walls is a central objective in spintronics. We describe how the axial anomaly, in terms of external electromagnetic fields, acts as a torque on the domain wall, and allows for electric control of the equilibrium configuration of the domain wall. We show how the axial anomaly is used to flip the chirality of the domain wall by tuning the electric field. Measuring the change in domain wall chirality constitutes a signal of the axial anomaly. We also describe how the Fermi arc boundary states of the Weyl semimetal at the domain wall result in an effective hard axis anisotropy which allows for large domain wall velocities irrespective of the intrinsic anisotropy of the material.

Our interest in non-Hermitian chiral anomalies stems from the existence of topological phases of matter in non-Hermitian models. We evaluate the chiral anomaly for a non-Hermitian Dirac theory with massless fermions with complex Fermi velocities coupled to non-Hermitian axial and vector gauge fields. The anomaly is compared with the corresponding anomaly of a Hermitianised and an anti-Hermitianised action derived from the non-Hermitian action. We find that the non-Hermitian anomaly does not correspond to the combined anomalous terms derived from the Hermitianised and anti-Hermitianised theory, as would be expected classically, resulting in new anomalous terms in the conservation laws for the chiral current.

Local topological markers are real space expressions of topological invariants evaluated by local expectation values and are important for characterising topology in noncrystalline structures. We derive analytic expressions for local topological markers for strong topological phases of matter in odd dimensions, by generalising the formulation of the even dimensional local Chern marker. This is not a straightforward task since the topological invariants in odd dimensions are basis dependent. Our solution is to express the invariants in terms of a family of parameter dependent projectors interpolating between a trivial state and the topological state of interest. The odd dimensional invariant is therefore expressed as a Chern character integrated over the combined space of the odd dimensional Brillouin zone and the one dimensional parameter space. As a result, we provide an easy-to-use chiral marker for symmetry classes with a chiral constraint, and a Chern-Simons marker for symmetry classes with either time reversal symmetry (in three dimensions) or particle hole symmetry (in one dimension). These markers are readily extended to interacting systems by considering the topological equivalence between a gapped one-particle density matrix of the interacting state and a projector corresponding to a free fermion state.

Kirala anomalier och topologiska faser av materia utgör grunden för den forskning som presenteras i denna avhandling. Den kirala anomalin studeras både i samband med magnetiska Weyl-semimetaller och i termer av en icke-Hermitisk verkansintegral. Vi undersöker topologiska faser av materia både genom Weyl-semimetaller och i formuleringen av lokala topologiska markörer. 

Den enklaste beskrivningen av magnetiska Weyl-semimetaller består av två så kallade Weyl-koner. Dessa kan separeras genom att addera en term som kan ses som ett axiellt gaugefält, och som beter sig som en magnetiseringsvektor.  Vi beskriver uppkomsten av axiella elektromagnetiska fält genom att betrakta en magnetfältsdriven domänvägg i denna magnetisering. Kombinationen av axiella magnetiska och elektriska fält resulterar i den kirala anomalin, och i sin tur till den kirala magnetiska effekten. Detta manifesteras i en icke-jämviktsström som följer med domänväggen. Den viktiga slutsatsen här är att den kirala magnetiska effekten är en källa till elektromagnetisk strålning, och en mätning av denna skulle därför fungera som en indirekt observation av den kirala anomalin.

Att finna verktyg att manipulera domänväggar med är ett centralt mål inom spinntronik. Vi beskriver explicit hur den axiella anomalin fungerar som ett vridmoment på domänväggen, och därmed möjliggör för en elektrisk kontroll av domänväggen. Vi visar speciellt hur det är möjligt att vända domänväggens kiralitet genom att ändra elektriska fältets styrka. En mätning av förändringen i domänväggens kiralitet utgör en signal för den axiella anomalin. Vi beskriver vidare hur utnyttjande av Fermiytans egenskaper vid domänväggen möjliggör stora domänväggshastigheter oberoende av materialets inneboende anisotropi.

Vårt intresse för icke-Hermitiska kirala anomalier bottnar i förekomsten av icke-Hermitiska topologiska faser. Vi utvärderar den kirala anomalin för en icke-Hermitisk modell med masslösa fermioner med komplexa Fermi-hastigheter kopplade till icke-Hermitiska axiella och vektoriella gaugefält. Klassiskt förväntar vi oss att den icke-Hermitska anomalin består av två bidrag, ett härrörande från den hermitska delen och det andra från den anti-hermitska. Detta är dock inte fallet, vilket resulterar i nya anomala termer i konserveringslagarna för den kirala strömmen.

Normalt karakteriseras topologiska faser av icke-lokala invarianter som beräknas i momentrummet. Detta är praktiskt då systemen är translationsinvarianta, men för icke-kristallina material är det önskvärt med lokala storheter. Vi härleder analytiska uttryck för en uppsättning lokala topologiska markörer giltiga i udda dimensioner. Detta är möjligt genom att generalisera formuleringen av den lokala Chern-markören för jämna dimensioner. Eftersom de topologiska invarianterna i udda dimensioner är basberoende är detta en icke-trivial uppgift.  Vi uttrycker invarianterna i termer av projektorer som interpolerar mellan ett trivialt tillstånd och det topologiska tillståndet av intresse. Mer specifikt uttrycks vår invariant som en integral av en Chern-karaktär över ett rum som kombinerar Brillouin-zonen och parameterrymden. Resultatet är de lättanvända chirala, och Chern-Simons markörerna som kan appliceras på ett flertal olika symmetriklasser. Vi beskriver även hur dessa markörer lätt kan utvidgas till växelverkande system.

Condensed matter physics studies how many quantum particles, when brought together, conspire to give rise to collective behaviours that are far richer than those of the individual particles themselves. This is the physics of emergence: the idea that a large system can have properties that are not obvious from its microscopic building blocks alone. The work presented in this thesis explores how to characterise the properties of such many-particle states from three interconnected points of view: topology, quantum transport, and quantum information. The common idea behind these themes is that the properties of quantum matter may be accessed directly from quantum states themselves, without necessarily referring to an underlying Hamiltonian, circuit, or protocol used to generate them.

Symmetry-protected topological phases of matter arise from the impossibility of continuously deforming certain quantum states into others whilst preserving their symmetries. In fermionic quantum matter, the phases resulting from such impossibility are those of topological insulators and superconductors. While having an insulating bulk, these materials possess metallic boundary states robust to perturbations preserving the protecting symmetries of their phase. Mathematically, the topological nature of these materials is characterised by the calculation of topological invariants, integer or half-integer numbers distinguishing between different topological phases. These invariants have been traditionally formulated for crystalline quantum matter, where one may use momentum space to perform mathematical calculations. This thesis focuses instead on characterising the topological phases of noncrystalline matter, which includes disorder and amorphicity. We develop a series of mathematical tools, known as local topological markers, which reformulate traditional topological invariants in real space and are therefore applicable even in the absence of crystallinity. Local topological markers are formulated in terms of the one-particle density matrix, a correlation function that only requires the knowledge of the quantum state in question to be calculated. Thus, the framework for topological characterisation we discuss, which also extends to certain higher-order topological phases, is purely state-based: it does not need to specify any parent Hamiltonian nor protocol used to prepare the quantum state to be characterised.

Contrary to the classical picture of electricity where electrons behave as solid spheres drifting through a wire, the electronic transport through a nanostructure is shaped by quantum effects like tunnelling and interference. Quantum transport studies how these effects determine the conducting properties of mesoscopic samples---those that are neither microscopic nor fully macroscopic, but lie in an intermediate regime. In this thesis, we use quantum transport to study topological insulator nanowires, where the interplay between topology, deviations from crystallinity, and symmetry constraints shape electronic transmission. The characteristic feature of topological nanowires is the appearance of a perfectly transmitted mode when a certain magnetic flux is threaded through the wire's cross section. Varying the magnetic flux interpolates from perfect transmission to situations where electronic interference is enhanced, suppressing transmission. This is seen in the behaviour of conductance, which oscillates as a function of magnetic flux in what is known as Aharanov-Bohm oscillations. The mechanism originating the perfectly transmitted mode in a topological nanowire relies on time-reversal symmetry appearing at specific values of the magnetic flux. In amorphous nanowires,  where time-reversal symmetry may be broken at any magnetic flux, the perfectly transmitted mode loses its protection, and the characteristic conductance oscillations of a topological nanowire may be lost. We study how the perfectly transmitted mode may be protected even when time-reversal symmetry is broken, and relate its loss to a topological phase transition driven by amorphicity.

Entanglement is a distinctive feature of condensed matter systems: the possibility that quantum particles may be correlated in a way that has no classical analogue. Although inherently quantum-mechanical, entanglement alone is not a sufficient ingredient for quantum computation to outperform classical computers. The reason is that there exists a special class of quantum states, stabiliser states, that may be highly entangled whilst admitting an efficient classical representation---calculations involving stabiliser states are tractable in modern-day computers. The deviation of a quantum state from the set of stabiliser states goes by the name of quantum nonstabiliserness or magic, and, in the same way as entanglement, it is not a guarantee of quantum complexity on its own. In this thesis, we develop a method to characterise quantum states that combines entanglement and nonstabiliserness. To do so, we use the framework of the information lattice, whichsystematically decomposes the correlations in a quantum state in terms of their scale---the spatial extent of correlations. Through the information lattice, we distinguish different contributions to the nonstabiliserness content of a quantum state, which may have either a single-particle origin or come from intrinsic many-particle correlations. This framework, which is purely state-based, provides a first step to a fully scale-resolved description of nonstabiliserness and contributes to the characterisation of quantum states in terms of their complexity.

Den kondenserade materiens fysik studerar hur många kvantpartiklar, när de förs samman, samverkar för att ge upphov till kollektiva beteenden som är långt rikare än de hos de enskilda partiklarna själva. Detta är emergensens fysik: idén att ett stort system kan ha egenskaper som inte är uppenbara enbart från dess mikroskopiska byggstenar. Arbetet som presenteras i denna avhandling utforskar hur sådana mångpartikeltillstånd kan karakteriseras från tre sammanlänkade perspektiv: topologi, kvanttransport och kvantinformation. Den gemensamma idén bakom dessa teman är att egenskaperna hos kvantmateria kan nås direkt från kvanttillstånden själva, utan att nödvändigtvis hänvisa till en underliggande Hamiltonian, kvantkrets eller procedur som används för att generera dem.

Symmetriskyddade topologiska faser av materia uppstår ur omöjligheten att kontinuerligt deformera vissa kvanttillstånd till andra samtidigt som deras symmetrier bevaras. I fermionisk kvantmateria är de faser som följer av denna omöjlighet topologiska isolatorer och supraledare. Trots att de har en isolerande bulk har dessa material metalliska randtillstånd som är robusta mot störningar som bevarar fasens skyddande symmetrier. Matematiskt karakteriseras dessa materials topologiska natur genom beräkningen av topologiska invarianter, heltals- eller halvtalsvärden som skiljer mellan olika topologiska faser. Dessa invarianter har traditionellt formulerats för kristallin kvantmateria, där man kan använda momentumrum för att utföra matematiska beräkningar. Denna avhandling fokuserar istället på att karakterisera topologiska faser hos icke-kristallin materia, vilket innefattar oordning och amorfhet. Vi utvecklar en serie matematiska verktyg, kända som lokala topologiska markörer, vilka omformulerar traditionella topologiska invarianter i reellt rum och därför kan användas även i avsaknad av kristallinitet. Lokala topologiska markörer formuleras i termer av enpartikeldensitetsmatrisen, en korrelationsfunktion vars beräkning endast kräver kännedom om det aktuella kvanttillståndet. Det ramverk för topologisk karakterisering som vi diskuterar, och som även utvidgas till vissa topologiska faser av högre ordning, är därmed helt tillståndsbaserat: det behöver varken specificera någon modershamiltonian eller något protokoll som används för att förbereda det kvanttillstånd som ska karakteriseras.

Till skillnad från den klassiska bilden av elektricitet, där elektroner beter sig som solida kulor som driver genom en ledare, formas den elektroniska transporten genom en nanostruktur av kvanteffekter som tunnling och interferens. Kvanttransport studerar hur dessa effekter bestämmer ledningsegenskaperna hos mesoskopiska system---system som varken är mikroskopiska eller helt makroskopiska, utan befinner sig i ett mellanliggande regime. I denna avhandling använder vi kvanttransport för att studera topologiska isolatornanotrådar, där samspelet mellan topologi, avvikelser från kristallinitet och symmetrivillkor formar den elektroniska transmissionen. Det karakteristiska särdraget hos topologiska nanotrådar är uppkomsten av en perfekt transmitterad mod när ett visst magnetiskt flöde träs genom trådens tvärsnitt. Genom att variera det magnetiska flödet interpolerar man från perfekt transmission till situationer där elektronisk interferens förstärks och därmed undertrycker transmissionen. Detta syns i konduktansens beteende, som oscillerar som funktion av det magnetiska flödet i det som kallas Aharonov--Bohm-oscillationer. Mekanismen som ger upphov till den perfekt transmitterade moden i en topologisk nanotråd bygger på att tidsinversionssymmetri uppträder vid specifika värden av det magnetiska flödet. I amorfa nanotrådar, där tidsinversionssymmetri kan vara bruten vid alla magnetiska flöden, förlorar den perfekt transmitterade moden sitt skydd, och de karakteristiska konduktansoscillationerna hos en topologisk nanotråd kan gå förlorade. Vi studerar hur den perfekt transmitterade moden kan skyddas även när tidsinversionssymmetri är bruten, och kopplar dess förlust till en topologisk fasövergång driven av amorfhet.

Sammanflätning är ett utmärkande drag hos system inom den kondenserade materiens fysik: möjligheten att kvantpartiklar kan vara korrelerade på ett sätt som saknar klassisk motsvarighet. Även om sammanflätning är ett inneboende kvantmekaniskt fenomen är det i sig inte en tillräcklig ingrediens för att kvantdatorer ska överträffa klassiska datorer. Anledningen är att det finns en särskild klass av kvanttillstånd, stabilisatortillstånd, som kan vara starkt sammanflätade samtidigt som de medger en effektiv klassisk representation---beräkningar som involverar stabilisatortillstånd är hanterbara med dagens datorer. Avvikelsen hos ett kvanttillstånd från mängden stabilisatortillstånd kallas kvant-icke-stabilisatorhet eller magi, och, på samma sätt som sammanflätning, är den inte ensam en garanti för kvantkomplexitet. I denna avhandling utvecklar vi en metod för att karakterisera kvanttillstånd som kombinerar sammanflätning och icke-stabilisatorhet. För att göra detta använder vi ramverket informationsgittret, som systematiskt bryter ned korrelationerna i ett kvanttillstånd efter deras skala---den rumsliga utsträckningen hos korrelationerna. Genom informationsgittret skiljer vi mellan olika bidrag till icke-stabilisatorinnehållet hos ett kvanttillstånd, vilka antingen kan ha ett enpartikelursprung eller komma från inneboende mångpartikelkorrelationer. Detta helt tillståndsbaserade ramverk utgör ett första steg mot en fullt skalupplöst beskrivning av icke-stabilisatorhet och bidrar till karakteriseringen av kvanttillstånd i termer av deras komplexitet.