This thesis addresses the topic of semilinear partial differential equations (PDEs) with homogeneous Dirichlet boundary conditions. At first, the existence and uniqueness of a solution to these kind of PDEs are being proven for a wide range of superposition operators. Afterwards, a number of numerical solution algorithms are analysed and a discretised version of them a subsequently employed on the PDE. A semi-smooth Newton method, a pure fixed-point method, a gradient descent, a first discretize, then optimize procedure, a generalised Newton method, and path-following methods are utilised to compute a numerical solution. All of the aforementioned methods are set up in the Sobolev space H10 (Ω) and discretised using linear finite elements. Afterwards, the associated tracking-type optimalcontrol problem (OCP) is analysed in terms of the existence and uniqueness of a solution. In orderto solve the OCP, a gradient descent and a first discretize, then optimize procedure are employed onthe OCP. The first order necessary optimality conditions of the OCP are also solved for with a semismoothNewton method, a pure fixed-point method, and a Uzawa like iterative method. Finally, theefficiency, speed of convergence, and mesh dependence of all methods are analysed and compared,which shows that the considered semi-smooth Newton method in a potential combination with pathfollowingmethods on the PDE yields the best result. On the OCP the considered semi-smooth Newtonmethod and the Uzawa like iterative mI denna uppsats behandlas semilinjära partiella differentialekvationer (PDE:er) med homogena Dirichletrandvillkor.Existensen och entydigheten av en lösning bevisas för ett brett spektrum av superpositionsoperatorer.Dessutom analyseras flera numeriska lösningsalgoritmer som sedan används på endiskretiserad version av PDE:n. För att beräkna en numerisk lösning används en Newton-metod, enfixpunktsmetod, en gradientnedstigning, ett förfarande där man först diskretiserar och sedan optimerar,en generaliserad Newton-metod och path-following methods. Alla ovannämnda metoder är uppbyggdai Sobolev-rymden H10 (Ω) och diskretiseras med hjälp av linjära finita element. Därefter analyserasdet tillhörande optimala kontrollproblemet (OCP) med avseende på existensen och unikheten hos enlösning. För att lösa optimala kontrollproblemet används en gradientnedstigning och en procedur somgår ut på att först diskretisera och sedan optimera problemet. OCP:ns nödvändiga optimalitetsvillkorav första ordningen löses också med en Newton-metod, en fixpunktsmetod och en Uzawa like iterativemethod. Effektiviteten, konvergenshastigheten och nätberoendet för alla metoder analyseras sedan.Detta visar att Newton-metoden ger de bästa resultaten i en potentiell interaktion med path-followingmethods på PDE. När den tillämpas på OCP eller dess optimeringsvillkor leder Uzawa like iterativemethod och Newton-metoden till de bästa resultaten.ethod lead to the most favourable results.