Modern datasets are increasingly complex and heterogeneous. Analyzing such data raises fundamental questions about the mathematical spaces in which data should be represented, how objects in these spaces should be compared, and which computable invariants preserve information relevant to a given task. This thesis studies these questions with topological data analysis as a central framework, using homology as a language for describing the geometry of data.

The first part of the thesis develops distances and invariants for spaces of persistence modules. The starting point is categorical: we regard data as objects living in categories equipped with enough algebraic structure to define a notion of size. In particular, abelian categories provide kernels, cokernels, and exact sequences, allowing distances between objects to be constructed from the failure of morphisms to be isomorphisms. Persistence modules form a central example: they encode how homological features appear and disappear along a filtration, and may be viewed as functors from a partially ordered parameter space to vector spaces. Within this framework, we study distances induced by contours, which provide a flexible way of specifying the geometry of the parameter space. This setting leads to compactness results for families of multidimensional persistence modules. In the one-dimensional setting, where a barcode decomposition is available, we develop algebraic Wasserstein distances based on ℓ_p norms of contour-dependent bar lifetimes. Using these distances, we define Wasserstein stable ranks, stable and computable invariants whose interpretable parameters can be learned for a given task.

The second part of the thesis moves from the mathematical framework to applications in neuroscience, where cellular morphologies provide natural examples of structured geometric data. Microglia and other branched cells can be represented as rooted trees embedded in three-dimensional space, and their morphology can be characterized using topological morphology descriptors. In the morphOMICs pipeline, such descriptors are combined with vectorizations, bootstrapping, dimensionality reduction, and classification in order to map microglial morphology across brain regions and sexes, and through development, disease progression, and experimental perturbations. This gives a data-driven atlas of microglial morphology that avoids relying on preselected scalar morphometric features.

We further introduce the chromatic topological morphology descriptor (chromatic TMD) to study intracellular organization in branched cells. Here a microglial cell is represented by a rooted tree, while CD68-positive and mitochondria organelles are represented by subgraphs of that tree. The inclusion of the organelle subgraph into the cell tree induces a morphism of persistence modules, and the image, kernel, and cokernel of this morphism describe complementary aspects of organelle organization: where organelles occupy branches, where they co-localize within branch structures, and where they are absent. An efficient tree-based algorithm is developed for computing these descriptors. Applied to retinal microglia, the method reveals organelle-specific spatial programs: CD68-positive organelles reorganize in a layer- and injury-dependent manner, while mitochondrial organization remains more closely coupled to the underlying branching morphology.

The third part of the thesis studies how stable homological invariants can be used in machine learning. Stable ranks provide a bridge from persistence modules to function spaces or finite-dimensional vector spaces, making persistence-based information accessible to kernel methods and neural networks. We introduce stable rank kernels, in which the choice of distance on persistence modules determines the stable rank and, consequently, the similarities encoded by the kernel. Varying this distance through contours can improve supervised learning performance. We also study subsampling-based stable ranks, in which probability distributions on a reference dataset are used to draw many subsamples, compute persistent homology and the corresponding stable ranks, and average the resulting functions. Different choices of distribution yield global descriptors of datasets or relative descriptors of points in the ambient space with respect to a reference object.

Finally, we investigate robustness in persistence-based learning. Persistent homology is stable with respect to suitable metrics, but these guarantees need not be preserved when persistence modules are processed by neural networks. We therefore introduce a stable rank network, combining stable rank vectorizations with Lipschitz neural network layers. This architecture has a controlled Lipschitz constant and yields sample-wise certificates of robustness in Wasserstein or bottleneck distance. This shows that topological stability can be preserved through a learning pipeline and used to certify robustness against adversarial perturbations.

Moderna datamängder blir alltmer komplexa och heterogena. För att analysera sådan data måste man först avgöra vilket matematiskt rum som är anpassat för datan, hur objekt i detta rum ska jämföras, och vilka beräkningsbara invarianter som bevarar den information som är relevant för en given uppgift. Denna avhandling studerar dessa frågor ur ett topologiskt dataanalysperspektiv, med homologi som ett språk för att beskriva datans geometri.

Den första delen av avhandlingen utvecklar avstånd och invarianter för rum av persistensmoduler. Utgångspunkten är kategoriteoretisk: vi betraktar data som objekt i kategorier med tillräckligt mycket algebraisk struktur för att definiera ett storleksbegrepp. I synnerhet har abelska kategorier kärnor, kokärnor och exakta följder, vilket gör det möjligt att konstruera avstånd mellan objekt utifrån i vilken grad morfismer misslyckas med att vara isomorfismer. Persistensmoduler utgör ett centralt exempel: de beskriver hur homologiska egenskaper uppstår och försvinner längs en filtrering, och kan ses som funktorer från ett partiellt ordnat parameterrum till vektorrum. Inom detta ramverk studerar vi metriker inducerade av contours, vilka beskriver flöden i parameterrummet. Detta leder till kompakthetsresultat för familjer av flerdimensionella persistensmoduler. I det endimensionella fallet utvecklar vi algebraiska Wasserstein-metriker genom att kombinera contours med en viktning av persistensmoduler via ℓ_p-normer av deras intervallängder. Dessa metriker ger upphov till Wasserstein stable ranks, vilka är stabila och beräkningsbara invarianter som kan parametriseras på ett tolkningsbart sätt och optimeras i maskininlärningsuppgifter.

Den andra delen av avhandlingen tillämpar topologiska metoder inom neurovetenskap, där cellulära morfologier ger naturliga exempel på strukturerad geometrisk data. Mikroglia och andra förgrenade celler kan representeras som rotade träd i ett tredimensionellt rum, och deras morfologi kan karakteriseras med hjälp av topologiska deskriptorer. I morphOMICs-pipelinen kombineras sådana deskriptorer med vektoriseringar, bootstrapmetoder, dimensionsreduktion och klassificering för att kartlägga mikroglians morfologi över hjärnregioner, kön, utveckling, sjukdom och experimentell perturbation. Detta ger en datadriven atlas över mikroglians morfologi som inte förlitar sig på förvalda skalära morfologiska mått.

Vi introducerar också chromatic TMD, en topologisk deskriptor för att studera intracellulär organisation i förgrenade celler. Här representeras en cell av ett rotat träd, medan organeller såsom CD68-positiva lysosomer eller mitokondrier utgör delgrafer av detta träd. Inklusionen av organell-delgrafen i cellträdet inducerar en morfism av persistensmoduler, och bilden, kärnan och kokärnan av denna morfism beskriver komplementära aspekter av organellernas organisation: var organeller förekommer i grenarna, var de samlokaliseras i grenstrukturer och var de inte förekommer. En effektiv trädbaserad algoritm utvecklas för att beräkna dessa deskriptorer. Tillämpad på mikroglia från näthinnan påvisar metoden organellspecifik struktur: CD68-positiva lysosomer uppvisar olika omorganisation beroende på näthinnelager och skada, medan den mitokondriella organisationen förblir mer tätt kopplad till den underliggande förgreningsmorfologin.

Den tredje delen av avhandlingen studerar hur stabila homologiska invarianter kan användas i maskininlärning. Stable ranks skapar en brygga mellan persistensmoduler och funktionsrum eller ändligdimensionella vektorrum, vilket gör homologisk information tillgänglig för kärnmetoder och neurala nätverk. Vi introducerar stable rank kernels, där valet av metrik på persistensmoduler avgör vilken geometri kärnan ser, och visar att variation av denna metrik genom contours kan förbättra prestanda i övervakad inlärning. Vi studerar också subsamplingsbaserade stable ranks, där man upprepade gånger samplar från en sannolikhetsfördelning på en referensdatamängd, beräknar homologiska invarianter och bildar medelvärdet av de resulterande stable ranks. Detta ger både globala deskriptorer av datamängder och relativa deskriptorer av punkter med avseende på referensobjektet.

Slutligen undersöker vi robusthet i homologibaserad inlärning. Persistent homologi är stabil med avseende på lämpliga metriker, men denna stabilitet kan gå förlorad när persistensmoduler används i obegränsade neurala nätverk. Vi introducerar därför ett stable rank network som kombinerar vektorisering av persistensmodulen med Lipschitz-neurala nätverkslager. Denna arkitektur har en kontrollerad Lipschitzkonstant och ger robusthetscertifikat per datapunkt i Wasserstein- eller bottleneck-avstånd. Resultatet visar att topologisk stabilitet kan bevaras genom en inlärningspipeline och användas för att certifiera robusthet mot adversariella perturbationer.