Chiral anomalies and topological phases of matter form the basis of the research presented in this dissertation. The chiral anomaly is considered both in the context of magnetic Weyl semimetals and in the context of non-Hermitian Dirac actions. Topological phases of matter play a role in this work through the research on Weyl semimetals and in the formulation of local topological markers.

The simplest example of magnetic Weyl semimetals consist of two Weyl cones separated in momentum space by a magnetisation vector which acts as an axial gauge field. We describe the emergence of axial electromagnetic fields by considering a magnetic field driven domain wall in this magnetisation. The parallel axial magnetic and axial electric fields give rise to the axial anomaly, and in turn to the chiral magnetic effect; a nonequilibrium current located at the domain wall. The chiral magnetic effect is a source of electromagnetic radiation, and a measurement of this radiation would provide evidence of the existence of the axial anomaly.

Electronic manipulation of domain walls is a central objective in spintronics. We describe how the axial anomaly, in terms of external electromagnetic fields, acts as a torque on the domain wall, and allows for electric control of the equilibrium configuration of the domain wall. We show how the axial anomaly is used to flip the chirality of the domain wall by tuning the electric field. Measuring the change in domain wall chirality constitutes a signal of the axial anomaly. We also describe how the Fermi arc boundary states of the Weyl semimetal at the domain wall result in an effective hard axis anisotropy which allows for large domain wall velocities irrespective of the intrinsic anisotropy of the material.

Our interest in non-Hermitian chiral anomalies stems from the existence of topological phases of matter in non-Hermitian models. We evaluate the chiral anomaly for a non-Hermitian Dirac theory with massless fermions with complex Fermi velocities coupled to non-Hermitian axial and vector gauge fields. The anomaly is compared with the corresponding anomaly of a Hermitianised and an anti-Hermitianised action derived from the non-Hermitian action. We find that the non-Hermitian anomaly does not correspond to the combined anomalous terms derived from the Hermitianised and anti-Hermitianised theory, as would be expected classically, resulting in new anomalous terms in the conservation laws for the chiral current.

Local topological markers are real space expressions of topological invariants evaluated by local expectation values and are important for characterising topology in noncrystalline structures. We derive analytic expressions for local topological markers for strong topological phases of matter in odd dimensions, by generalising the formulation of the even dimensional local Chern marker. This is not a straightforward task since the topological invariants in odd dimensions are basis dependent. Our solution is to express the invariants in terms of a family of parameter dependent projectors interpolating between a trivial state and the topological state of interest. The odd dimensional invariant is therefore expressed as a Chern character integrated over the combined space of the odd dimensional Brillouin zone and the one dimensional parameter space. As a result, we provide an easy-to-use chiral marker for symmetry classes with a chiral constraint, and a Chern-Simons marker for symmetry classes with either time reversal symmetry (in three dimensions) or particle hole symmetry (in one dimension). These markers are readily extended to interacting systems by considering the topological equivalence between a gapped one-particle density matrix of the interacting state and a projector corresponding to a free fermion state.

Kirala anomalier och topologiska faser av materia utgör grunden för den forskning som presenteras i denna avhandling. Den kirala anomalin studeras både i samband med magnetiska Weyl-semimetaller och i termer av en icke-Hermitisk verkansintegral. Vi undersöker topologiska faser av materia både genom Weyl-semimetaller och i formuleringen av lokala topologiska markörer. 

Den enklaste beskrivningen av magnetiska Weyl-semimetaller består av två så kallade Weyl-koner. Dessa kan separeras genom att addera en term som kan ses som ett axiellt gaugefält, och som beter sig som en magnetiseringsvektor.  Vi beskriver uppkomsten av axiella elektromagnetiska fält genom att betrakta en magnetfältsdriven domänvägg i denna magnetisering. Kombinationen av axiella magnetiska och elektriska fält resulterar i den kirala anomalin, och i sin tur till den kirala magnetiska effekten. Detta manifesteras i en icke-jämviktsström som följer med domänväggen. Den viktiga slutsatsen här är att den kirala magnetiska effekten är en källa till elektromagnetisk strålning, och en mätning av denna skulle därför fungera som en indirekt observation av den kirala anomalin.

Att finna verktyg att manipulera domänväggar med är ett centralt mål inom spinntronik. Vi beskriver explicit hur den axiella anomalin fungerar som ett vridmoment på domänväggen, och därmed möjliggör för en elektrisk kontroll av domänväggen. Vi visar speciellt hur det är möjligt att vända domänväggens kiralitet genom att ändra elektriska fältets styrka. En mätning av förändringen i domänväggens kiralitet utgör en signal för den axiella anomalin. Vi beskriver vidare hur utnyttjande av Fermiytans egenskaper vid domänväggen möjliggör stora domänväggshastigheter oberoende av materialets inneboende anisotropi.

Vårt intresse för icke-Hermitiska kirala anomalier bottnar i förekomsten av icke-Hermitiska topologiska faser. Vi utvärderar den kirala anomalin för en icke-Hermitisk modell med masslösa fermioner med komplexa Fermi-hastigheter kopplade till icke-Hermitiska axiella och vektoriella gaugefält. Klassiskt förväntar vi oss att den icke-Hermitska anomalin består av två bidrag, ett härrörande från den hermitska delen och det andra från den anti-hermitska. Detta är dock inte fallet, vilket resulterar i nya anomala termer i konserveringslagarna för den kirala strömmen.

Normalt karakteriseras topologiska faser av icke-lokala invarianter som beräknas i momentrummet. Detta är praktiskt då systemen är translationsinvarianta, men för icke-kristallina material är det önskvärt med lokala storheter. Vi härleder analytiska uttryck för en uppsättning lokala topologiska markörer giltiga i udda dimensioner. Detta är möjligt genom att generalisera formuleringen av den lokala Chern-markören för jämna dimensioner. Eftersom de topologiska invarianterna i udda dimensioner är basberoende är detta en icke-trivial uppgift.  Vi uttrycker invarianterna i termer av projektorer som interpolerar mellan ett trivialt tillstånd och det topologiska tillståndet av intresse. Mer specifikt uttrycks vår invariant som en integral av en Chern-karaktär över ett rum som kombinerar Brillouin-zonen och parameterrymden. Resultatet är de lättanvända chirala, och Chern-Simons markörerna som kan appliceras på ett flertal olika symmetriklasser. Vi beskriver även hur dessa markörer lätt kan utvidgas till växelverkande system.