This thesis explores the construction and computation of algebraic invariants for filtered topological spaces. These invariants are derived from the classical algebraic object of homology, which is invariant under homeomorphisms, i.e., continuous transformations of topological spaces with continuous inverses. Filtered spaces, however, are richer structures that often encode geometric information, and thus our algebraic constructions are invariant with respect to isometries and scaling operations. We are also interested in the stability of invariants with respect to small perturbations of the input data, including the addition of noise.

Given a space with a poset-valued filtration function, the homology (with field coefficients) of sublevel sets forms a functor from the poset to vector spaces: this functor is called a persistence module, and is a central object in the field of topological data analysis (TDA). In Paper A, we develop the theory of relative homological algebra for persistence modules, including the use of local Koszul complexes as a tool for computing relative Betti diagrams, which are a numerical invariant of minimal relative projective resolutions. In Papers B and C, we study the case where the indexing poset is a total order. In this case, persistence modules decompose as sums of simple bar modules, and we introduce the notion of bar-to-bar morphisms between persistence modules as an algebraic version of bar matchings. Moreover, we develop algorithms for computing matchings induced by morphisms, passing through bar-to-bar morphisms.

Papers D and E generalize a more classical invariant, the critical points of a Morse function, to the setting of metric algebraic geometry, an emerging field that combines (or reunites) algebraic and differential geometry. Specifically, we develop a Morse theory for distance functions from an algebraic variety, restricted to an algebraic variety, and show that, generically, such a distance function is Morse. We define both geometric and algebraic notions of critical points and provide upper bounds on their number. In this sense, we construct and compute invariants for filtered algebraic spaces.

Denna avhandling utforskar konstruktionen och beräkningen av algebraiska invarianter för filtrerade topologiska rum. Dessa invarianter härstammar från det klassiska algebraiska objektet, homologi, som är invariant under homeomorfismer, d.v.s. kontinuerliga transformationer av topologiska rum med kontinuerliga inverser. Filtrerade rum är emellertid rikare strukturer som ofta kodar geometrisk information, och därför är våra algebraiska konstruktioner invarianta med avseende på isometrier och skalningsoperationer. Vi är också intresserade av stabiliteten hos invarianter med avseende på små störningar i indatan, inklusive tillägg av brus.

Givet ett rum med en pomängdvärderad filtreringsfunktion, bildar homologin (med fältkoefficienter) hos delnivåmängder en funktor från pomängden till vektorrummen: denna funktor kallas en persistensmodul och är ett centralt objekt inom området topologisk dataanalys (TDA). I Artikel A utvecklar vi teorin om relativ homologisk algebra för persistensmoduler, inklusive användningen av lokala Koszulkomplex som ett verktyg för att beräkna relativa Bettidiagram, vilka är en numerisk invariant av minimala relativa projektiva upplösningar. I Artiklarna B och C studerar vi fallet där indexeringspomängden är en total ordning. I detta fall sönderfaller persistensmoduler som summor av enkla streckmoduler, och vi introducerar begreppet streck-till-streck-morfismer mellan persistensmoduler som en algebraisk version av streckmatchningar. Dessutom utvecklar vi algoritmer för att beräkna matchningar inducerade av morfismer, som passerar genom streck-till-streck-morfismer.

Artiklar D och E generaliserar en mer klassisk invariant, de kritiska punkterna för en Morsefunktion, till metrisk algebraisk geometri, ett framväxande område som kombinerar (eller återförenar) algebraisk och differentialgeometri. Mer specifikt utvecklar vi en Morseteori för avståndsfunktioner från en algebraisk varietet, begränsad till en algebraisk varietet, och visar att en sådan avståndsfunktion generellt är Morse. Vi definierar både geometriska och algebraiska begrepp för kritiska punkter och anger övre gränser för deras antal. I denna mening konstruerar och beräknar vi invarianter för filtrerade algebraiska rum.